Argument komplexe Zahl

Question

Text erkannt:

(b) Es sei $z=\frac{\cos (3)+\mathrm{i} \sin (3)}{1+\mathrm{i}}$. Berechnen Sie $|z|$ und $\arg z \in[0,2 \pi)$.

Bei dieser Teilaufgabe komme ich nicht auf den Winkel. Könnte mir hier evtl. Jmd weiterhelfen.

Kann man zudem bei Quotienten den Betrag von komplexen Zahlen einzeln betrachten und wann muss man diesen addieren?

LG

Comments

Für die komplexe Zahl z = u / v ist |z| = |u| / |v| und arg(z) = arg(u) - arg(v).

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Das wurde schon gesagt. (Von mir)

Answer 1

Aloha :)

Verwende die Euler-Formel $e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\,\sin\varphi$

$$z=\frac{\cos(3)+i\sin(3)}{1+i}=\frac{\cos(3)+i\sin(3)}{\sqrt2\,\underbrace{\cos\left(\frac\pi4\right)}_{=1/\sqrt2}+i\sqrt2\,\underbrace{\sin\left(\frac\pi4\right)}_{=1/\sqrt2}}=\frac{e^{i\,3}}{\sqrt2\,e^{i\frac\pi4}}=\frac{1}{\sqrt2}\,e^{i\left(3-\frac\pi4\right)}$$

Answer 2

Hallo.

Schreibe für den Betrag zuerst die komplexe Zahl in kartesischer Form a + b*i. Dazu erweiterst Du die komplexe Zahl mit dem Faktor (1-i)/(1-i).

Dann hast Du

z = (cos(3)+sin(3))/2 + i*(sin(3)-cos(3))/2.

1) Der Betrag (Radius):

Es gilt |z| = sqrt(Re(z)² + Im(z)²). Den Realteil Re(z) und Imaginärteil Im(z) kennst Du ja jetzt von der berechneten kartesischen Form oben.

Tipp: Beachte beim Berechnen von |z| die Identität sin²(x) + cos²(x) = 1, die für alle x ∈ C gilt.

2) Das Argument

Für das Argument nutze die ursprüngliche Bruchform der komplexen Zahl, denn da gilt in dem Falle arg(z) = arg(cos(3)+sin(3)*i) - arg(1+i)

(Das gilt insbesondere da für z hier |z| = |cos(3)+i*sin(3)| / |1+i| erfüllt ist. Das kannst Du ja mal gerne als Übung prüfen.)

Setze x := cos(3) + i*sin(3).

Für die beiden Summanden nutze die Gleichheit arg(x) = arctan(Im(x)/Re(x)). Achtung! : Die Gleichheit gilt hier nur, weil der Realteil echt positiv ist, d.h. Re(x) = cos(3) > 0. Ansonsten siehe hier:

Text erkannt:

$\arg (z)=\left\{\begin{array}{ll}\arctan \left(\frac{b}{a}\right) & ; a>0 \\ \arctan \left(\frac{b}{a}\right)+\pi & ; a<0, b \geq 0 \\ \arctan \left(\frac{b}{a}\right)-\pi & ; a<0, b<0 \\ \frac{\pi}{2} & ; a=0, b>0 \\ -\frac{\pi}{2} & ; a=0, b<0\end{array}\right.$

wobei z = a+b*i, hier eine beliebige komplexe Zahl sein soll.

Es gilt also arg(x) = artan(sin(3)/cos(3)) = arctan(tan(3)) = 3. Das zweite überlasse ich Dir. (Du kannst da dieselbe Gleichheit nutzen)

Comments

Das mit der Differenz der Argumente beim Dividieren stimmt so ohne weiteres nicht. Da gilt es genau auf die Def., d.h. eine eventuelle Normierung, zu achten. Die Def. von "argument" ist nicht einheitlich.

Hier passt es, weil die Differenz in [0,2pi) landet, für den Kehrwert wäre die Formel falsch.

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Stimmt habe das mit der Normierung vergessen zu erwähnen. Habe es jetzt dazugefügt. Danke!

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Auch die Formel für arg ist nicht allgemeingültig

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Ja, die arctan-Formel ist (glaub ich) erst beim Bearbeiten reingekommen. Nein, die ist natürlich nicht allgemeingültig und ja, das ist besonders wichtig anzumerken, weil es oft irrtümlich angenommen wird.

Das sicherste ist immer eine Skizze zu machen, dann sieht man sofort welcher Winkel als arg in Frage kommt.

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Stimmt, das ist eine wichtige Ergänzung. Ich habe es jetzt ergänzt. Jetzt stimmt alles. Dankeschön!

Answer 3

Einfacher geht es über die Eulerform, denn da kann man beides direkt ablesen.

$z=\frac{\mathrm{e}^{3\mathrm{i}}}{\sqrt{2}\mathrm{e}^{\frac{\pi}{4}\mathrm{i}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{e}^{(3-\frac{\pi}{4})\mathrm{i}}$

Wie man auf die Eulerform des Nenners $1+\mathrm{i}$ kommt, kann man sich ganz leicht überlegen, indem man die komplexe Zahl in die komplexe Zahlenebene einzeichnet.

Comments

Der Zähler ist doch cos(3) +isin(3)

da steht aber e³ⁱ

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Wenn man keine Ahnung hat, einfach mal die Klappe halten. ;)

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Vielen Dank.                    .