+3 Daumen
857 Aufrufe
Sechs Kinder sitzen an einem Tisch. Jedes Kind hat eine gerade Anzahl an Bonbons. Auf Kommando gibt jedes Kind die Hälfte seiner Bonbons an seinen rechten Nachbar ab; besitzt ein Kind danach eine ungerade Anzahl an Bonbons, nimmt es sich ein Bonbon aus dem unbegrenzten Vorrat. Die Kinder wollen diesen Vorgang solange wiederholen, bis alle gleich viele Bonbons besitzen.

Ist dies immer möglich?
Avatar von
Was ist das doch für ein Zufall dass die Frage bis auf 2 irrelevante Unterschiede in der Aufgabenstellung exakt die 3. Aufgabe der 2. Runde des Landeswettbewerbs Mathematik Baden-Würtemberg ist!!! Zufälligerweise sitze ich auch gerade an dieser Aufgabe, wäre also auch an einer Lösung interessiert. Ich finde es aber unfair anderen gegenüber, die sich selber eigene Gedanken gemacht haben, sich die Aufgabe einfach von jemandem in diesem Forum lösen zu lassen, und nicht einmal in die Frage zu schreiben, wofür die Lösung eigentlich gebraucht wird! Und jemand, der so etwas macht, hat in der ersten Runde einen 1. oder 2. Preis erhalten!!!


wenn du mich fragst, sind derartige Matheolympiaden deplatziert und nicht mehr zeitgemäß.

Ich habe auf diese Art und Weise versucht, an den olympischen Spielen teilzunehmen. Ich war 100 m in 6 Sekunden gerannt und habe meine Messergebnisse eingeschickt. Niemand wollte mir glauben.

MfG

Mister
Was für ein treffendes Beispiel! +20 Daumen für Mister. @Admin: Bitte! ;-)
Witzigerweise ist das ebenfalls fast genau die 3. Aufgabe der 2. Runde des Landeswettbewerbs Mathematik in Bayern. Ich komme auch nicht weiter, habe aber überlegt, dass sich nichts an der Situation ändert, wenn man bei jedem eine gerade Anzahl an Bonbons abziegt. Weiß nicht ob das weiterhilft.

1 Antwort

+2 Daumen

(Zunächst muss ich ein paar Leerzeilen erzeugen, damit die nachfolgende etwas zu breite Tabelle vollständig sichtbar erscheint)

Wenn die Frage das Wörtchen "immer" nicht enthielte, dann wäre die Antwort einfach: nämlich "Ja, das ist möglich."

Ich habe eine EXCEL-Tabelle zur automatischen Berechnung des Problems erstellt und ein wenig herumexperimentiert. In jedem Fall kam es innerhalb "relativ weniger" Schritte zur Konvergenz, also zu dem Ergebnis, dass alle Kinder dieselbe Anzahl Bonbons hatten. Danach führten weitere Versuchsschritte zu keiner Ergebnisänderung mehr.

Hier mal ein Beispiel für einen solchen Versuchslauf:

Schritte01234567891011121314151617
                   
Kind 121420222220181614141416182022222222
Kind 26410162022222018161616161820222222
Kind 3108681216202222201818181818202222
Kind 41412108810141820222220202020202022
Kind 5221816141210101216182022222222222222
Kind 6262422201816141212141618202222222222
                   
Summe80808488929498100102104106110114120124128130132

Interessant ist insbesondere, dass das Verfahren in meinen Versuchen nicht nur für geradzahlige sondern auch für ungeradzahlige und auch für gemischte, also gerad- und ungeradzahlige Startwerte konvergierte.

 

Die rekursive Formel, die hinter der Tabelle steckt, ist eigentlich recht einfach. Bei insgesamt s Kindern lautet sie für das erste Kind: 

Kind 1 ( n + 1 ) = [ Kind 1 ( n ) + Kind s ( n ) ] / 2

und für jedes weitere Kind:

Kind k ( n + 1 ) = [ Kind k ( n ) + Kind k-1 ( n ) ] / 2 mit k = 2 ... s

wobei Kind k ( 0 ) jeweils der Startwert von Kind k ist.

 

Leider enthält aber die Fragestellung das Wörtchen "immer" und das bedeutet, dass man entweder ein Gegenbeispiel finden muss, um die Frage verneinen zu können (das ist mir nicht gelungen) oder dass man zeigen muss, dass das Verfahren für jede gültige Startwertbelegung konvergiert (das ist mir leider auch nicht gelungen ...).

Da die neue Bonbonanzahl eines jeden Kindes auch immer von der ursprünglichen Bonbonanzahl seines Nachbarkindes abhängt, ist die Auflösung dieser rekursiven Formeln in explizite Formeln nicht einfach ...
Vielleicht aber helfen dir ja schon die Formeln ein wenig weiter ...

Avatar von 32 k
gibt es nicht irgendeine Formel mit der man das gegen Ereignis einfach bestimmen kann? sitze seit 8 tagen an der Aufgabe und bin durch ausprobieren auf noch kein Ergebnis gekommen... es ist echt schwer...
weis gerade nicht so ganz was mir das helfen soll, dass ich eine gerade zahl an Bonbons abziehen kann

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community