Für welche a ∈ ℝ ist (v1, v2, v3) eine Basis von ℝ3? Lineare Algebra UNI

Question

Aufgabe:

Gegeben seien in ℝ³ die Vektoren v1 = (1, 1, 2), v2 = (−1, 1, 1) und
v3 = (0, 2, a). Für welche a ∈ ℝ ist (v1, v2, v3) eine Basis von ℝ³ ?

Answer 1

Aloha :)

Weil du neu bist, kann man dir noch nicht böse sein. Aber bitte wirf uns nicht einfach irgendwelche Fragen hier hin, damit wir die für dich lösen. Einige von uns versuchen immer, den Fragenden die Antworten zu erklären. Das kostet Zeit, weil man überlegen muss, wie man etwas möglichst einfach erklärt. Bitte nimm du dir auch die Zeit, deine eigenen Ansätze zu posten (damit wir besser deinen Kenntnisstand einschätzen können), unsere Antworten zu verstehen und gerne auch Rückfragen zu stellen.

Nun zu deiner Frage...

Bei einer Basis müssen alle Basisvektoren linear unabhängig sein. Lineare Unabhängigkeit von Vektoren kannst du mit der Determinante überprüfen. Der Wert einer Determinante ist genau dann null, wenn die Zeilen- oder Spalten-Vektoren linear abhängig sind. Bei einer Basis muss die Determinante also ungelich null sein.

$$\left|\begin{array}{r}1 & -1 & 0\\1 & 1 & 2\\2 & 1 & a\end{array}\right|=-2\cdot\left|\begin{array}{r}1 & -1\\2 & 1\end{array}\right|+a\cdot\left|\begin{array}{r}1 & -1\\1 & 1\end{array}\right|=-2\cdot(1+2)+a\cdot(1+1)$$$$=-6+2a$$Diese Determinante muss $\ne0$ sein:$$-6+2a\ne0\quad\Leftrightarrow\quad a\ne3$$

Für alle $a\ne3$ bilden die Vektoren eine Basis des $\mathbb R^3$.

Comments

Danke für die Erklärung und fürs klarmachen wie ich in Zukunft Fragen Posten soll. :)

LG Samanta

Answer 2

DET([1, 1, 2; -1, 1, 1; 0, 2, a]) ≠ 0 --> a ≠ 3