Weshalb verschwindet das e und wie kommt man auf -ln(n)?

Question

Aufgabe:

Ich verstehe nicht weshalb das e verschwindet und wie man auf -ln(n) kommt?

\( e^{-n x}=\frac{1}{n} \)
\( \ln \left(e^{-n x}\right)=\ln \left(\frac{1}{n}\right) \)
\(-nx = -\ln(n)\)
\(x = \frac{\ln(n)}{n}\)

Answer 1

Hallo,

$$\begin{aligned} e^{-nx}&=\frac{1}{n} \quad&&\lvert\; \text{Natürlich. Log. }\ln(\phantom{x})=\log_e(\phantom{x}) \text{ von beiden Seiten nehmen}\\ \textcolor{red}{\ln}(e^{\textcolor{blue}{-nx}})&=\textcolor{red}{\ln}\left(\textcolor{green}{\frac{1}{n}}\right) \quad&&\lvert\; \text{Es gilt: }\ln\left({e^{\textcolor{blue}{x}}}\right)=\textcolor{blue}{x}, \quad \textcolor{green}{\frac{1}{n}}=\textcolor{green}{n^{-1}}\\ \textcolor{blue}{-nx}&=\ln\left(\textcolor{green}{n^{-1}}\right) \quad&&\lvert\; \text{ Es gilt: } \ln(x^y)=y\ln(x)\\ -nx&=-1\cdot \ln(n) \quad&&\lvert\; \div (-n)\\ x&=\frac{\ln(n)}{n} \end{aligned}$$ Die beiden Gleichungen \(\ln\left(e^x\right)=x\) und \(\ln\left(x^y\right)=y \ln(x)\) gelten laut den Logarithmengesetzen. \(\ln\left(e^x\right)=x\) ist dabei ein Spezialfall des Gesetzes \(\log_b{x^b}=x\) mit \(b=e\).

\(\ln (x)\) bezeichnet dabei den Logarithmus zur Basis \(e\): \(\ln(x)=\log_{e}(x)\)

Answer 2

die ln-Funktion und die e-Funktion sind umkehrfunktionen zueinander und heben sich auf. Da.h.

LN(e^z) = z und e^(LN(z)) = z

Dann gelten die Potenz und Logarithmengesetze. Bitte nachschlagen

LN(1/z) = LN(z^(-1)) = -1·LN(z) = - LN(z)