zeigen sie rechnerisch das alle Graphen von fa einen Wendepunkt haben.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionschar fa(x)=x^2-ax^3+1

a) zeigen Sie rechnerisch das alle Graphen von fa einen Wendepunkt haben.

B) zeigen Sie rechnerisch, dass die Wendepunkte der Schar alle auf einer Parabel liegen und bestimmen sie die zugehörige Gleichung(Ortskurve der Wendepunkte)

Answer 1

fa''(x) = 0

2- 6ax =0

x = 1/(3a)

b)

fa(1/(3a)) = (1/3a)^2- a(1/3a)^3+1 = 1/9a^2 - 1/27a^2 +1

Comments

Nur der Vollständigkeit halber:

Für \(a=0\) hat die Funktionenschar keinen Wendepunkt.

Answer 2

Gegeben ist die Funktionschar fa(x) = x^2 - ax^3 + 1

a) zeigen sie rechnerisch das alle Graphen von fa einen Wendepunkt haben.

B) zeigender rechnerisch, dass die Wendepunkte der Schar alle auf einer Parabel liegen und bestimmen sie die zugehörige Gleichung(Ortskurve der Wendepunkte)

a)

fa(x) = x^2 - a·x^3 + 1

fa'(x) = 2·x - 3·a·x^2

fa''(x) = 2 - 6·a·x --> x = 1/(3·a) ist einfache Nullstelle und damit eine Wendestelle

b)

2 - 6·a·x = 0 --> a = 1/(3·x)

y = x^2 - (1/(3·x))·x^3 + 1 = 2/3·x^2 + 1

Skizze: