Zeigen Sie, dass f: R Wurzel x bijektiv ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass f: R>=0 auf R>=0 x -> Wurzel x bijektiv ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe überhaupt keinen Plan, wie ich das machen soll.

Mein Versuch für die Injektivität:

Zu zeigen: Wurzel x1 = Wurzel x2 impliziert x1 = x2.

Beweis:

Sei a^2 = x1

b^2 = x2

Es folgt a^2 gleich b^2

Daraus folgt x1 = x2

Stimmt das so? Und wie zeige ich Surjektivität?

Comments

Seien \(x,y\in\mathbb R^+_0\) mit \(f(x)=f(y)\). Dann gilt \(x-y=(\sqrt x+\sqrt y)\cdot(\underbrace{\sqrt x-\sqrt y}_{=0})=0\), also \(x=y\).

Answer 1

Aloha :)

Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird. Sei also \(y\in\mathbb R^{\ge0}\) ein Element aus der Bildmenge beliebig aber fest gewählt. Wir müssen ein \(x\in\mathbb R^{\ge0}\) aus der Definitionsmenge finden, die auf dieses \(y\) abbildet.$$y\stackrel{!}{=}f(x)=\sqrt x\quad\Rightarrow\quad x=y^2\in\mathbb{R^{\ge0}}$$Für jedes \(y\in\mathbb{R}^{\ge0}\) aus der Zielmenge, können wir \(x=y^2\in\mathbb R^{\ge0}\) aus der Definitionsmenge angeben, das auf dieses \(y\) abbildet. Die Funktion ist also surjektiv.

Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchtenst 1-mal erreicht wird. Wir nehmen daher an, es gebe zwei Werte \(x_1,x_2\in\mathbb R^{\ge0}\) aus der Definitionsmenge, die auf dasselbe \(y\in\mathbb R^{\ge0}\) abbilden:$$f(x_1)=y=f(x_2)\quad\Rightarrow\quad \sqrt{x_1}=\sqrt{x_2}\quad\Rightarrow\quad x_1=x_2$$Es gibt also keine zwei verschiedenen Elemnte aus der Definitionsmenge, die auf denselben Funktionswert abbilden. Die Funktion ist injektiv.