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Aufgabe:

38) a) Ein Schütze trifft eine Zielscheibe mit 65%iger Wahrscheinlichkeit. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, bei 8 Versuchen die Scheibe genau 3mal zu treffen?

b) Der Schütze aus a) schießt zur Wettkampfvorbereitung 1200 mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mindestens 920 mal?


Problem/Ansatz:

… Wie kann ich b lösen?

von

2 Antworten

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a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 8 Versuchen die Scheibe genau 3 mal zu treffen?

P(X = 3) = (8 über 3)·0.65^3·(1 - 0.65)^(8 - 3) = 0.0808 = 8.08%


b) Der Schütze schießt zur Wettkampfvorbereitung 1200 mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mindestens 920 mal?

Näherung über die Normalverteilung

n = 1200 ; p = 0.65
μ = n·p = 780 ; σ = √(n·p·(1 - p)) = 16.52

P(X ≥ 920) = 1 - NORMAL((919.5 - 780)/16.52) = 1 - NORMAL(8.44) ≈ 1 - 1 = 0%

Mach dir auch klar das der Schütze im Mittel nur 780 mal treffen würde!

von 429 k 🚀
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b) ist ja eigentlich binomialverteilt, da du aber folgenden Ausdruck berechnen müsstest:$$P(X\geq 920)=\sum \limits_{k=920}^{1200}\begin{pmatrix} 1200\\k \end{pmatrix}\cdot 0.65^k\cdot 0.35^{1200-k}$$ ist das sehr unhandlich, weil mit solchen Aufgaben selbst gute Taschenrechner in Schwierigkeiten geraten.

Du brauchst eine Normal-Approximation der Binomialverteilung. Die LaPlace-Bedingung \(\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1200\cdot 0.65\cdot 0.35}\approx 16.52>3\) ist mehr als erfüllt.

Bestimme nun den Erwartungswert und die Standardabweichung:$$\mu = 1200\cdot 0.65=780 \quad , \quad \sigma\approx 16.523$$ Es gilt nun $$P(X\geq 920)=1-P(X<920)=1-\Phi\left(\frac{k-\mu+0.5}{\sigma}\right)=1-\Phi\left(\frac{919-780+0.5}{16.523}\right)=1-\Phi(8.44)\approx 1.382\cdot 10^{-16} \, \%$$

von 27 k

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