Aussagenlogik, Aussage beweisen

Question

Aufgabe:

Um eine Aussage der Form \( \forall x \in M: \mathbf{A}(x) \) (lies: , für alle Elemente \( x \) aus der Menge \( M \) gilt \( \left.\mathbf{A}(x)\right) \) zu beweisen, muss man \( \mathbf{A}(x) \) für alle \( x \) bestätigen. Um eine solche Aussage zu widerlegen genugt es allerdings ein Gegenbeispiel anzugeben, d.h., ein \( x \) für das \( \mathbf{A}(x) \) nicht gilt.

Um eine Aussage der Form \( \exists x \in M: \mathbf{A}(x) \) (lies: "es existiert ein Element \( x \) aus der Menge \( M \) fur das \( \mathbf{A}(x) \) gilt" ) zu beweisen, genügt es ein Beispiel anzugeben. Um eine solche Aussage zu widerlegen muss man zeigen, dass \( \mathbf{A}(x) \) fur alle \( x \) falsch ist.

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:

(a) \( \forall n \in \mathbb{N}: \) n ist eine Primzahl
(b) \( \forall n \in \mathbb{Z}: n(n+1)(n+2) \) ist durch 3 teilbar.
(c) \( \forall a \in \mathbb{Q} \exists b \in \mathbf{Q}: a b=1 \)
(d) \( \exists a, b \in \mathbb{N}: a^{2}+b^{2}=6 \)
(e) \( \forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon>0: \exists N \in \mathbb{N}, N>0: \forall n \in \mathbb{N}, n>N: \frac{1}{n}<\epsilon \)
Hinweis: Drücken Sie \( n \) fur beliebiges \( \epsilon \) durch \( \epsilon \) aus, um ein geeignetes \( N \) zu finden.

4e): mein Ansatz: \( \frac{1}{n} \) < ε

-> \( \frac{1}{ε} \) < n

und weiter komm ich nicht...

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Logistik Aussage widerlegen

Stichworte: widerlegen,aussagen,beweise

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:

∀e ∈ ℝ, e>0: ∃ N ∈ ℕ, N>0: ∀ n ∈ ℕ, n > N: (1/n) < e

Dazu habe ich folgende Idee gehabt.

(1/n) < e

wenn ich n durch e ausdrücke, also 1/e = n, dann sollte die 2te Ungleichung passen, aber was mache ich mit der ersten.

Es würde ja bedeuten, dass 1/e > N , aber hilft mir ja nicht viel.

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@Babsie: Gleiche Anmerkung wie eben.

Answer 1

(a) 1?

(b) z.B. über Induktion beweisen

(c) a=0?

(d) Es könnten nur a=1, b=1; a=1, b=2; a=2, b=1 in Frage kommen (sonst a^2+b^2>6)

(e) Deine Überlegung ist richtig, ein solches N mit n>N>1/e findest du z.b. also für N=1/e+1 (siehe Grenzwert von Folgen)

Comments

danke! a bis d habe ich eh verstanden, es ging mir nur um e). Woher hast du hier n>N>1/e entnommen?

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Es ging bei e) darum ein N so zu finden, dass für alle n>N auch n>1/e gilt. Da N=1/e+1>1/e für alle e>0 erfüllt ist, gilt das offenbar dann auch für alle n>N.

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dankschön! Hab's jetzt verstanden!

Answer 2

Tipp: Beweis per Widerspruch. Nehme an, es gäbe ein \(\varepsilon >0\) mit \(\varepsilon \leq \frac{1}{n}\), also \(n\leq \frac{1}{\varepsilon}\). Sind die natürlichen Zahlen nach oben beschränkt?

Comments

n muss mindestens 1/e groß sein. Wenn ich aber n gegen unendlich laufen lasse, dann ist es nicht mehr größer als e und e muss größer als 0 sein, womit die Aussage nicht stimmt, oder?

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Die Aussage ist wahr: wähle \(\displaystyle N = \left\lceil \frac 1{\epsilon}\right\rceil\) ... und bedenke, dass \(\displaystyle \frac 1n \lt \frac 1N\) für \(n \gt N\)

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Der indirekte Beweis ist viel schneller.

Angenommen, \(\mathbb{N}\) wäre nach oben beschränkt, dann exisitiert nach dem Supremumsaxiom \(s:=\sup \mathbb{N}\in \mathbb{R}\). Insbesondere ist \(n\leq s\) für alle \(n\in \mathbb{N}\). Somit ist auch \(n+1\leq s\) für alle \(n\), d. h. \(n\leq s-1\) für alle \(n\in \mathbb{N}\). Folglich ist \(s-1\) ebenfalls eine obere Schrake von \(\mathbb{N}\) im Widerspruch zu \(s=\sup \mathbb{N}\).

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Der indirekte Beweis ist viel schneller.

... wenn man weiß, was 'Supremumsaxiom' ist ;-). Ich weiß zumindest, dass \(\mathbb N\) nicht nach oben beschränkt ist!

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Vielleicht sagen dir "dedekindsche Schnitte" mehr - so kann man auch reelle Zahlen konstruieren. Ich habe die reellen Zahlen als Synthese der Körperaxiome, Anordnungsaxiome und dem Supremumsaxiom kennen gelernt. Dadurch sind die reellen Zahlen bis auf Isomoprhie eindeutig bestimmt. Es gibt halt noch die Möglichkeit von den natürlichen Zahlen, wie sie in den Peano-Axiomen fixiert sind, über die ganzen und rationalen Zahlen die reellen Zahlen zu konstruieren. Sehr mühselig und zweitaufwendig. (vgl. Amann/Escher)

Answer 3

Gelöscht.... . . . . . ..........