In welcher maximalen Höhe lehnt die Leiter an der Wand?

Question

Alle Kanten einer würfelförmigen Kiste sind 1,2 m lang. Die Kiste steht auf einem ebenen Boden direkt an einer senkrechten Wand. Eine 3,5 m lange Leiter steht auf dem Boden, lehnt an der Wand und berührt die Kiste.

In welcher maximalen Höhe lehnt die Leiter an der Wand?

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Das ist eine Variante des klassischen Leiter-Kiste-Aufgaben. Mehrere mögliche Lösungswege zum Teil mit Quellenangaben werden auf mathematische-basteleien.de beschrieben. Im Januar 2019 hat Heinrich Hemme die vorliegende Variante auf Spektrum.de gestellt und ist dort auch ein wenig auf den englischen Mathematiker Thomas Simpson (1710 – 1761) eingegangen. Dieser beschreibt in seinem 1745 erschienenen Buch "A Treatise of Algebra" eine Leiter-Kiste-Aufgabe, die als älteste Referenz für diesen Aufgabentyp betrachtet wird.

Answer 1

(1,2+x)^2+(1,2+y)^2=3,5^2    (1)    Pythagoras

y/1,2=1,2/x  (2)      Ähnliche Dreiecke

x und y sind der waagerechte bzw. senkrechte Streckenabschnitt neben bzw. über dem Quadrat.

(2) → y=1,44/x bzw. x=1,44/y

(1) → (1,2+1,44/y)^2+(1,2+y)^2=12,25

y=1,6   ;   x=0,9

h=1,6+1,2=2,8

Die gesuchte Höhe beträgt 2,8 m.

PS:

 0,9+1,2=2,1

Als zweite Lösung kommt rechnerisch auch 2,1m heraus. Der Abbildung und dem praktischen Menschenverstand kann man aber entnehmen, dass y größer als x sein soll.

:-)

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x und y sind der waagerechte bzw. senkrechte Streckenabschnitt neben bzw. über dem Quadrat.

Diese Wahl der Variablen ist wesentlich für einen einfachen Lösungsweg.