Warum ist diese Relation mit auf der Menge der Ganzen Zahlen nicht transitiv?

Question

Guten Tag zusammen

Ich habe folgende Aufgabe: R ⊆ Z × Z gegeben durch (x, y) ∈ R ⇔ |x − y| ≥ 1       (Z sind die Ganzen Zahlen)

Meine Frage ist jetzt, warum ist diese Relation nicht transitiv ist?

Die Definition von transitiv ist ja: alle x, y, z ∈ M gilt: Aus (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R folgt (x, z) ∈ R.

Meine Überlegung wäre, dass diese Relation nicht transitiv ist, da die Elemente nicht reflexiv sind oder warum nicht?

Vielen Dank im Voraus!

MfG
Lenovo

Answer 1

Das hat mit der Reflexivität nichts zu tun. Es gibt auch Relationen, die nicht reflexiv aber transitiv sind.

Du kannst ganz einfach die fehlende Transitivität der Relation beweisen, indem du ein Gegenbeispiel angibst. Dann gilt die Aussage nämlich nicht mehr für alle \(x,y,z\) und ist demnach falsch.

Gegenbeispiel: Sei \(x=5\), \(y=6\) und \(z=5\). Wir überprüfen nun, ob aus \((5,6)\in R \land (6,5)\in R\implies (5,5)\in R\) folgt.
Es ist offensichtlich, dass \(5R6\) und \(6R5\) gilt: \(\lvert 5-6\rvert = \lvert 6-5\rvert = 1\). Aber \(5 R 5\) ist \(5-5=0\) und deshalb \((x,z)\notin R\), obwohl \((x,y)\in R\) und \((y,z)\in R\) ist. Widerspruch zur Aussage der Transitivität, die Relation ist nicht transitiv.

Comments

Danke vielmals für die Erklärung. Das hat mir sehr geholfen. Diesen Fall ist mir nicht in den Sinn gekommen.

MfG
Lenovo

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Hallo Lenovo,

gern geschehen. Freut mich, wenn ich helfen konnte!

Answer 2

Prüfe, ob (1R3 ∧3R1)→1R1.

|1-3|≥1 und |3-1|≥1 gilt, aber nicht |1-1|≥1

Comments

Roland

Danke vielmals für die Antwort.

MfG
Lenovo