0 Daumen
1,2k Aufrufe

Im Zeitalter digitaler Werkzeuge wird das Rechnen mit Zahlen und Termen gern an diese Werkzeuge delegiert. Das ist ganz sicher eine sehr gute Idee, wenn es zum Beispiel um 3,7845³·sin(32°) geht. In diesem Falle handelt es sich um eine mechanisch zu erledigende Anforderung – unabhängig davon, ob ein digitales Werkzeug verwendet wird oder nicht.

Das mechanische Rechnen im Rahmen etwa einer Problemlösung muss in einem Schulunterricht, der das Ziel hat, Mathematik zu vermitteln, deutlich getrennt werden von einem Rechnen, das die mathematischen Tätigkeiten:

  1. Zurückführen auf Bekanntes
  2. Mustererkennung
  3. vergegenständlichende Verallgemeinerung

erfordert und fördert.

Beispiel zu 1) Wer die Methode des kleinen Gauß zur Addition der ersten n natürlichen Zahlen kennt, kann die Summe jeder arithmetischen Reihe in kürzester Zeit bestimmen.

Beispiele zu 2) Jedes Rechengesetz und viele Rechenregeln weisen ein Muster auf. So erkennen einige Grundschüler über die Wahrnehmung eines Musters z.B. das Kommuntativgesetz und nutzen es dann auch intuitiv. Wer die binomischen Formeln als Muster auffasst, kann jedes Binom quadrieren.

Beispiel zu 3) Im Rahmen mathematischen Denkens werden verallgemeinerte Lösungen zu Begriffen und damit zu Gegenständen neuer Lösungen. Dieser rekursive Prozess ermöglicht mathematische Wissensbildung und befördert das Wachstum der Mathematik. Schon jeder einzelne Zahlbegriff ist eine solche vergegenständlichende Verallgemeinerung.

Das Dilemma des Einsatzes digitaler Werkzeuge in der Phase des Erlernens von Mathematik liegt darin, dass in der Fachdiskussion zu wenig unterschieden wird zwischen der Rolle des Rechnens im Rahmen einer Problemlösung und der Rolle des Rechnenlernens im Rahmen des Mathematiklernens.

geschlossen: Wissensartikel
von Roland
Avatar von 123 k 🚀

Viele Mathematiker haben sich in vergangenen
Jahrhunderten über das viele " Rechnen "
beklagt und es haben später ganze Abteilungen
die Routineberechnungen übernommen: Beruf " Rechenknecht " .
Ich möchte auch nicht mehr den Taschenrechner
oder CAS-Computerprogramm missen.
Beim grundsätzlichen Erkennen von mathematischen Gegebenheiten hilft der Rechner meist nicht.
Es gilt immer noch was du schon einmal
gesagt hast " Erst das Hirn einschalten und dann
den Rechner "

 "1. Zurückführen auf Bekanntes"

"Beispiel zu 1) Wer die Methode des kleinen Gauß zur Addition der ersten n natürlichen Zahlen kennt, kann die Summe jeder arithmetischen Reihe in kürzester Zeit bestimmen."

Schlechtes Beispiel, Summen werden mit Hilfe der Technik viel schneller verrechnet, als wir Menschen es können.

Für mich ist die Methode des  kleinen Gauß nicht von Bedeutung um Summen zu berechnen, das mache ich eher selten.

Es ist eine Erleuchtung, die zeigt, dass es möglich ist, aufwendige Arbeiten  zu vermeiden, leider gelingt es mir nicht so oft.

Wenn es mir gelingt, dann wird das manchmal nicht respektiert, so dass ich dann doch zu dieser leidvollen Arbeit gezwungen werde. Das ist es was das Beispiel zeigt, denn Gauß hat, wenn wir der Geschichte Glauben schenken, ja erst einmal Schläge für seine Methode bekommen.

Beim grundsätzlichen Erkennen von mathematischen Gegebenheiten hilft der Rechner meist nicht.

Das sehe ich genauso! Und aus diesem Grunde ist es IMHO praktisch sinnlos im Mathematikuntericht oder in einer Mathematikprüfung eine Taschenrechner zu benutzen. Zumindestens in den unteren und mittleren Klassenstufen.

Nach meinen Erfahrungen in der Nachhilfe ist der Taschenrechner sogar kontra produktiv. Die Schüler verlassen sich viel zu sehr auf das Ergebnis, unabhängig davon ob sie die Berechnung richtig eingegeben haben oder nicht; oder noch das Ergebnis der letzten Rechnung mit addiert wird; usw.!

Berechnungen wie \(3,7845^3 \cdot \sin(32°) \) kann ein Lehrer entweder umgehen, indem er die Aufgabe so stellt, dass \(1,7^2 \cdot \sin(30°)\) zu berechnen ist, was mit Papier und Bleistift zu machen ist, oder man sollte das Rechnen mit dem Rechenschieber wieder üben.

Ich komme nur mit Rechenschieber auf \(3,7845^3 \cdot \sin(32°) \approx 28,6\), was nicht gar zu weit von einem besseren Ergebnis entfernt ist, als dass man es als falsch bezeichnen müsste.

Der Rechenschieber hat den Riesenvorteil, dass man ein Gefühl für Zahlen und Größenordnungen und deren Toleranzen entwickeln kann. Was IMHO weit wichtiger ist als die 8. Stelle hinter dem Komma von der Anzeige des TRs auf Papier zu übertragen.

@Hogar: "Summen werden mit Hilfe der Technik viel schneller verrechnet, als wir Menschen es können."

Gilt das auch für Taschenrechner?

Es ist eine Erleuchtung, die zeigt, dass es möglich ist, aufwendige Arbeiten zu vermeiden, leider gelingt es mir nicht so oft.
Wenn es mir gelingt, dann wird das manchmal nicht respektiert, so dass ich dann doch zu dieser leidvollen Arbeit gezwungen werde.

@Hogar: kannst Du das noch mal erklaren! Wer zwingt Dich denn?

Hallo Werner,

"Berechnungen wie 3,7845^3⋅sin(32°) kann ein Lehrer entweder umgehen, indem er die Aufgabe so stellt, dass 1,7^2⋅sin(30°) zu berechnen ist, was mit Papier und Bleistift zu machen ist, oder man sollte das Rechnen mit dem Rechenschieber wieder üben."

1,7^2⋅sin(30°) ist das nicht eher ein Beispiel für das Kopfrechnen?

Nun zum " zwingen" gezwungen werden ist wohl nicht der richtige Ausdruck, denn ich selbst bin es ja, der denkt, etwas noch genauer erklären zu müssen, wenn meine Ideen auf Unverständnis stoßen. Es ärgert mich aber, wenn es einige gibt, dir diese Bemühungen nicht würdigen und plötzlich auf meine Antworten zu ihren Fragen nicht reagieren. Sicher ist es mein Problem, dass ich dann noch tiefer in die Frage einsteige und noch weitere Erkenntnisse in meine Antwort einfließen lasse, anstatt das ich es abhake. Denn es gibt einige, da wird auch dieses Bemühen nicht honoriert. Wenn der Fragesteller auf Antworten  nicht reagiert, finde ich es einfach blöd.

Gruß, Hogar

1,7^2*sin30°=2,89*0,5=1,45

Im Kopf gerechnet! Ich bitte um Applaus!

;-)

Hallo Roland,

wenn Taschenrechner die Nullstellen der kubischen Funktionen finden kann, dann können sie auch Summen berechnen.

Mein Smartphone kann es zur Not mit Wolframalpha. Es gibt eine APP , da macht man ein Foto und sie soll angeblich die Ergebnisse liefern, ich habe es mit

x^3 = i versucht, doch sie konnte mir keine Antwort geben, dann habe ich es mit

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n}{10^{n}}} \) auch das hat nicht geklappt.

Gruß, Hogar

P.S. ich warte noch auf eine Reaktion zu meiner Antwort auf deine Frage.

https://www.mathelounge.de/757354/zeige-das-dreieck-abg-und-das-viereck-egfd-sind-flachengleich

Hallo MontyPython,

bravo, und auch noch richtig gerundet.

:-)

@Werner,
Rechenschieber sind out.
Mechanische Tischrechner und der Abakus
ebenso. Ich sehe keinerlei Sinn in der Benutzung
dieser Geräte.

In der heutigen Ausgabe der ZEIT ist ein Artikel über das Problem des Mathe-Unterrichts

enthalten + Interview.

@Georg:

Ich habe meine Schülerinnen und Schüler Rechenschieber aus Papier herstellen lassen, wenn es um die Rechenregeln des Logarithmus ging. Dass man Strecken addiert, um Zahlen zu multiplizieren, fanden die Begabteren schon interessant.

Außerdem war ihnen nicht bewusst, dass es bezahlbare Taschenrechner erst seit ca. 1980 gibt. Und dass man mit einer einzigen Einstellung drei Zahlen multiplizieren kann, zeigt doch, dass wir nicht "auf der Brennsuppen daher geschwommen" sind.

;-)

Rechenschieber sind out.

da ist mir natürlich bekannt. Das ist ja auch das Problem!

Es geht mir auch nicht darum, dass man den Rechenschieber nutzen soll, um Aufgaben im realen Leben zu berechnen.

Es geht darum, ein Gefühl für Zahlen und deren Größenordnung und für Toleranzen von Operationen zu entwickeln. Abgesehen davon lernt man auch gleich, ganz praktisch mit dem Logarithmus umzugehen - siehe MontyPythons Kommentar.

Mein Taschenrechner für 40 € ( eventuell noch aus
DMark-Zeiten ) hat 16 Funktionen. Ein paar
Tasten habe ich noch gar nicht ausprobiert.

Seit ca 15 Jahren habe ich auch ein CAS
Programm für den PC das ich immer mehr nutze.

Die Tasten sind größer und es nimmt mir
noch mehr Arbeit ab.

In der heutigen Ausgabe der ZEIT ist ein Artikel über das Problem des Mathe-Unterrichts enthalten + Interview.

könnte das hier sein. Dann lasst uns mal die Welt retten! ;-)

@georgborn

Ich bin froh, dass ich noch mit der Kurbelmaschine und den  Funktions- und Logarithmentafeln und Rechenstab lernen und arbeiten durfte. Mit der Kurbelmaschine ging es quasi durch die Hand in den Kopf, dass eine Multiplikation eine mehrfache Addition ist. Mit dem Rechenschieber wurden die Rechengesetze für Potenzen und Logarithmen veranschaulicht. Alles war greifbarer. Wir hatten im Amt auch eine Doppelkurbelmaschine, damit konnten wir Vorwärtsschnitte berechnen. Es waren also die Koordinaten von  zwei Punkten mit den jeweiligen Richtungen zum dritten Punkt gegeben und wir sollten die Koordinaten des dritten Punktes berechnen. Auf Anhieb könnte ich das heute nicht mehr, doch es war schön anzusehen, wie sich die Punkte annäherten. Das war alles noch greifbar. Was Wolframalpha aber macht, ist schwer nachzuvollziehen.

Doch schon vor vierzig Jahren bin ich an der Schule mit dem Versuch gescheitert, die Logarithmen mithilfe der Logarithmentafel von Bürgi einzuführen. Was für ein Quatsch dachten die Schüler*innen, warum soll das Rechnen mit den Tafeln einfacher sein. Das mag für Keppler und Co gelten, doch wir haben unseren Taschenrechner.   Nur leider hatte ich dadurch keine Theorie mehr, denn durch den Taschenrechner kam man nicht darauf, dass die Steigung von LN(x) 1/x ist. Darum sollten sie den  Differenzenquotient bilden. Ich schlug vor, kleine Abstände zu nehmen, also 1/10; 1/100; 1/1000 usw.

Einer konnte die Aufgabe lösen, er hat die 1/x Taste gefunden, keiner kam auf die Idee, mit der Dezimalzahl zu arbeiten und niemand ist, wie ich es erwartet hatte, auf die Idee gekommen, einfach das Komma zu verschieben.

Das aber, das habe ich durch den Umgang mit den mechanischen Hilfsmitteln gelernt.

Gruß, Hogar

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Logarithmentafel

Der Artikel ist schwach.
Ohne Mathematik keine industrielle Revolution,
keinen Wohlstand usw.
Aber auch keine Flugzeugträger, Atombomben.
Das genetische Erbe im Menschen - Kampf
ums Futter - ist leider zu bestimmend.

@Hogar:

Das mag für Keppler und Co gelten, doch wir haben unseren Taschenrechner. Nur leider hatte ich dadurch keine Theorie mehr, denn durch den Taschenrechner kam man nicht darauf, dass die Steigung von LN(x) 1/x ist.

.. sag' ich doch. Der Taschenrechner gehört aus der Schule ganz raus. Das Ding ist schädlich; ich erlebe ähnliches bei der Nachhilfe.

Gruß Werner

Hallo Hogar,
ich habe während meiner Laborantenlehre
69 - 72 auch mit 1 m langen Rechenschiebern,
Kurbelrechenmaschienen ( etwas ) gearbeitet

Gottseidank gab es im Labor auch schon
elektronische Rechenmaschinen sowie
die programmierbare Olivetti Programma 110.

Wahrscheinlich weil ich faul bin habe ich die Arbeiten mit letztgenannten Maschinen erledigt.

Mathematik ist für mich ein logisch aufgebautes
Gebäude welches aus einfachsten Anfängen
immer größer aufgebaut werden kann.
Mathe klärt den Geist.

Schön ist es auch das man in der Außenwelt
Mathematik zu Modellen für die Realität
kommen kann.

Natürlich nicht für alles.

@Werner,

das Thema Taschenrechner wird sich vermutlich schnell erledigen , nur eben nicht so, wie wir es uns vorstellen. Durch den Einzug der IPads in die Schulen , wird der Taschenrechner vermutlich den Tafeln und Rechenschieber in die Versenkung folgen. Ob das aber so gut ist, bezweifel ich.

Gruß, Hogar

P.s. Ich rede wie ein alter Mann. Vermutlich liegt es daran, dass ich einer bin.

P.s. Ich rede wie ein alter Mann. Vermutlich liegt es daran, dass ich einer bin.

... ja ja! schon die alten Römer wussten, dass die Jugend von heute auch nicht mehr das ist, was sie früher einmal war.

das Thema Taschenrechner wird sich vermutlich schnell erledigen , nur eben nicht so, wie wir es uns vorstellen. Durch den Einzug der IPads in die Schulen ...

Man kann 'Taschenrecher' ja verallgemeinern; bis hin zu graphischer TR, CAS, iPad mit was weiß ich für einer App drauf. Das Thema ist hier: "Die Bedeutung des Rechnens" und wenn jemand \(3,7845^3 \cdot \sin(32°)= 287,2\) 'rechnet', weil sein TR - oder was auch immer - ihm das anzeigt, weil irgendwo eine Zehnerstelle verrutscht ist, dann ist es doch von Vorteil, wenn man weiß, dass sicher \(4^3 \lt 100\) und \(\sin(32°) \lt 1\) ist.

Wir (die alten Männer & Frauen) sind wohl die letzte Generation, die ohne 'Computer' im weitesten Sinne groß geworden ist. Und der Einsatz des Computers verändert die Gesellschaft mindestens so stark wie die Einführung des Buchdrucks. Nur sehr sehr viel schneller!

Und wir erleben i.A. einen Zustand, wo das technische (also mathematische) immer wichtiger wird und immer mehr in unser Leben eindringt, aber auf der anderen Seite z.B. eine Medienlandschaft existiert, die zumindest zum Teil suggeriert, dass man Mathe nicht braucht. Es ist bei jedem Fernsehmoderator oder Filmstern(chen) doch schon 'systembedingt', dass er/sie von sich sagen kann: "Ich bin auch ohne Mathe erfolgreich". Und die anderen (Ingenieur, Wissenschaftler, Techniker, Handwerker, usw.) sieht man nicht.

Wenn bei Günter Jauch eine Rechenaufgabe für 12-Jährige 16000€ wert ist, ahnt man, dass Mathe für viele eine Geheimwissenschaft ist.

Hallo georgborn,

Olivetti stand im Amt in einem Raum, zu dem nur ausgewählte Mitarbeiter Zutritt hatten. An der Fachhochschule mussten wir aufwendige Rechnungen immer programmieren und auf Lochstreifen im Rechenzentrum abgeben, erst nach einer Woche bekamen wir die Ergebnisse, häufig stand da aber nur Syntax Error , manchmal aber nur, weil die Löcher auf dem Streifen nicht richtig gestanzt worden waren.

Ich habe hier gerade ein Buch von

R.Courant und H Robbins von 1973

Mit dem Titel: " Was ist Mathematik?

Dies Buch besitze ich seit 1980.

Doch bis heute kann ich nicht sagen, was Mathematik ist. Dabei erzähle ich immer, dass ich nichts anderes kann. Das Gute ist, dass sie es mir in der Schule auch alle glauben. Was ich mitbekomnen habe, es gibt verschiedene Bereiche in der Mathematik, einiges besteht schon seit vielen Jahren, so liegen hier auch von R.Courant zwei Bücher über Differential und Integralrechnung Erstauflage 1927/1930

Wer das durcharbeitet würde vermutlich auch heute noch die Prüfung bestehen .

Doch es sind auch neue Bereiche dazugekomnen ( Chaostheorie u.a.)

Wiederum sind alte Fragen immer noch nicht beantwortet. ( die Existenz von unendlich vielen Primzahlzwillingen)

Bei den beantworteten Fragen, hat es im Nachherein den Eindruck, dass alles logisch aufeinander aufbaut, doch die offenen Fragen bleiben bus zu ihrer Beantwortung ein Mysterium.

Durch eine Aufgabe aus dem Leben eines Landvermesser, bin ich 1972 erst zur Vermessung und dann zur Mathematik gekommen. Der Vorteil an der Mathematik, bestand für mich darin, dass ich mir wenig merken musste um trotzdem durch einfache Gedanken zum richtigen Ergebnisse zu kommen.

Am " kleinen Gauß " faszinierte mich wie gesagt, nicht das Ergebnis, sondern die Art und Weise, wie er darauf gekommen sein soll.

Die Formel vergesse ich manchmal, doch sie ist ja ganz schnell zu entwickeln.

Mathematik ist für mich deshalb so spannend, weil es diese offenen Fragen gibt, zu denen eben noch keiner eine Lösung gefunden hat. Dabei rede ich hier nicht über die Probleme, bei denen schon gezeigt wurde, dass es keine Lösungen gibt. Ich meine nicht die Quadratur des Kreises oder dir Dreiteilung der Winkel mit Zirkel und Lineal. Weil ich nicht weiß, wie diese Aufgaben zu lösen sind, deshalb weiß ich von der Mathematik nur. dass es Menschen gibt, die sich dieser Probleme annehmen. Das Wunderbare ist auch, dass sich immer neue Fragen ergeben.

Das ich so viel geschrieben habe, ist vielleicht nur der Ausdruck, dass ich so wenig weiß.

Gruß, Hogar

Doch alle beneiden Bill Gates und vermutlich können sich die meisten auch denken, dass er ohne die Mathematik nicht so erfolgreich wäre.

Nur jetzt wo es in Richtung Rente geht, frage ich mich , ob es klug war, auf die Mathematik zu setzen. Mein Problem ist wohl, dass ich mal gut rechnen konnte, aber nie berechnend war. Ein Musiker, der kann sich an die Straße stellen, ein Maler kann die Straße bemalen. Doch wer gibt schon Geld dafür aus, wenn der "kleine Gauß" oder der Pythagoras bewiesen oder auch wenn gezeigt wird, wie das Verhältnis von bestimmten Flächen ist?

Es geht hier um die Bedeutung des Rechnens. Dazu würde ich gerne einen Link einstellen, bei dem es um die Nullstellenfindung einer kubischen Gleichung geht.

Ich habe versucht durch einfaches Rechnen eine Lösung zu finden, auf meine Lösung gab es keine Reaktion, statt dessen wurde dem Fragesteller empfohlen , ein Näherungsverfahren seiner Wahl zu nehmen.

Die Höhe einer Schachtel sollte gefunden werden, doch vermutlich kennt ihr diese aktuelle Frage.

https://www.mathelounge.de/761520/kantenhohe-einer-schachtel-bestimmen

@Hogar:

auf meine Lösung gab es keine Reaktion,

das ist leider die übliche "Reaktion" hier im Forum. Das nervt mich genauso, insbesondere bei Fragestellern, die es auf der einen Seite total wichtig machen (schnell & ausführlich wollen sie es) und auf der anderen Seite auf die einfachsten Nachfrage nicht reagieren. Und das ist leider keine Ausnahme, sondern der Durchschnitt.

So gesehen hat Deine Antwort bereits 'überdurchschnittliches' Feedback in Form eines Daumens erhalten, wohingegen die zweite Antwort keinen bekommen hat.

Allerdings finde ich, dass Deine Ausführungen teilweise schwer nachzuvollziehen sind. In der Antwort auf die Frage nach der Schachtelhöhe beginnst Du mit

1*4*8=32

ich gestehe, ich brauchte eine Weile, bis ich kapierte, dass hier für die Höhe der Wert \(1\) eingesetzt wurde, und das Volumen in diesem Fall \(32\) ist. Es ist für mich etwas verstörend, wenn nur die Rechnung geschrieben wird, aber nicht, was da eigentlich gerechnet wird. Weiter unten ist dann aus dem \(x\) des Fragestellers ein \(z\) geworden, was auch nicht zum Verständnis beiträgt.

... statt dessen wurde dem Fragesteller empfohlen , ein Näherungsverfahren seiner Wahl zu nehmen.

Ja - es wurde das Vorgehen empfohlen, was Du selber in Deiner Antwort vorgemacht hast. In Deinem Fall war es eben das Näherungsverfahren der sogenannte Intervallschachtelung.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

+1 Daumen
0 Antworten
0 Daumen
0 Antworten
0 Daumen
0 Antworten

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community