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Aufgabe:

Recurrence equation

Es ist gegeben, dass man 4yt = 3yt-1 +10 für (t=1,2,3...) lösen soll, wenn y0 = 25 ist.

Jetzt soll ma den geringsten t finden, für welchen yt
unterscheidet sich von der zeitunabhängigen Lösung um kleiner als 0,5. ("differs from the time-independant solution by 0.5).

Problem/Ansatz:

4 * 25 = 3yt-1  + 10

90 = 3x

30 = x

Das stimmt so aber nicht, oder?

von

Kannst du vielleicht die gesamte Frage posten, auch auf Englisch?

Ja, klar!

Find the solution of the recurrence relation:


4yt = 3yt-1 + 10 (t=1,2,3,...)

when y0=25 and describes its behavior as t -> infinity.

Find the least t for which yt differs from the time-independent solution by less than 0.5.

\(y_t=\left(\frac{3}{4}\right)^t\cdot 25 + \frac{5}{2}\cdot \sum\limits_{i=0}^{t-1} \left(\frac{3}{4}\right)^i, \ t\geq 1\)

Dann letzteren Term noch unter dem Kontext der geometrischen Reihe betrachten.

1 Antwort

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Vermutlich soll das t gefunden werden, wo der Wert das erstemal unter 10,5 ist.

Wenn ich mich nicht verzählt habe, ist

y(12)≈10,4751452804

Anfangs hatte ich einfach den Rechner genommen und die Werte nacheinander eingegeben, doch jetzt fange ich noch mal von vorne an

"Es ist gegeben, dass man 4yt = 3yt-1 +10 für (t=1,2,3...) lösen soll, wenn y0 = 25 ist."

Y0=25

4*Y1=3*25+10

Y1=(3*25+10)/4

Y1=(3*(10+15)+10)/4

Y1=(3*15+*4*10)/4

Y1=(3/4*15+10)

4Y2=3*(3/4*15+10)+10

4Y2=3^2/4*15+4*10
Y2=(3^2/4^2*15+10)
4Y3=3*(3^2/4^2*15+10)+10

4Y3=33/4^2*15+4*10
Y3=(33/4^3*15+10) usw
Yt=(3/4)^t*15+10

Es gibt also einen von t abhängigen Teil und einen von t unabhängigen Teil . Der von t unabhängigen Teil ist unser Grenzwert y=10

Wir können

Mit At=(3/4)^t*15 auch schreiben

Yt= At+y

An ist eine Folge, die gegen Null strebt, Yt strebt also gegen 10.

Nun soll ich das kleinste n finden, so dass dieser Abstand (unser An) kleiner 0,5 =1/2 ist.

An=(3/4)^t*15<1/2
(3/4)^t<1/30
ln((3/4)^t)<ln(1/30)
t*ln(3/4)<ln(1/30)

Achtung, wenn ich jetzt durch ln(3/4) dividiere, ändere ich die größer als Relation, denn ln(3/4)<0

Darum führt es zu

⌈Ln*(1/30)/ln(3/4)⌉=t=12

Oder auch, wie ich schrieb

⌈Ln*(1/30)/ln(0,75)⌉=t=12


Probe 1/(0,75^12)=31,57

Ich habe mich nicht verzählt, hätte aber auch nicht zählen müssen.

Bleibt nur noch zu sagen, dass die explizite Form dieser Folge lautet:

Y(t)= 15*0,75^t +10

y(∞)=10

von 4,4 k

Deine explizite Form liefert für t=12 ein anderes Ergebnis, als du oben ermittelt hast.

Das kann sein, dann habe ich mich da wohl vertippt , doch 12 ist vermutlich richtig.

dann habe ich mich da wohl vertippt

was meinst du mit "da" ?

Bei der 30, ändere ich gleich.

Oben hatte ich doch 25-10=15 geschrieben.

Ich glaube, dass, das was Du schreibst, richtig ist, aber ich verstehe es leider nicht. Kannst Du mir eventuell das etwas ausführlicher erklären? Ich sitze jetzt schon seit zwei Tagen an dieser Aufgabe und habe es in dieser Zeit versucht, mir selber beizubringen.

Ich glaube, dass das was Du schreibst, richtig ist, aber ich verstehe es leider nicht. Kannst Du mir eventuell das etwas ausführlicher erklären? Ich sitze jetzt schon seit zwei Tagen an dieser Aufgabe und habe es in dieser Zeit versucht, mir selber beizubringen.

Was verstehst du denn genau nicht?

Das wäre wichtig, damit man weiß was du gerne etwas ausführlicher erklärt haben möchtest.

Klar! :)


Wie kommst du auf y(12) und warum 10,5? Less than time-independent solution heißt doch 9,5 oder?

Warum rechnest Du 25-10 bzw.

0,5=15/30

Ln*(1/30)/ln(0,75)≈11,82 → t=12

⌈Ln*(1/30)/ln(0,75)⌉=t=12


Lieben Dank Dir!

Anfangs hatte ich einfach den Rechner genommen und die Werte nacheinander eingegeben, doch jetzt fange ich noch mal von vorne an

"Es ist gegeben, dass man 4yt = 3yt-1 +10 für (t=1,2,3...) lösen soll, wenn y0 = 25 ist."

Y0=25

4*Y1=3*25+10

Y1=(3*25+10)/4

Y1=(3*(10+15)+10)/4

Y1=(3*15+*4*10)/4

Y1=(3/4*15+10)

4Y2=3*(3/4*15+10)+10

4Y2=3^2/4*15+4*10

Y2=(3^2/4^2*15+10)

4Y3=3*(3^2/4^2*15+10)+10

4Y3=3^3/4^2*15+4*10

Y3=(3^3/4^3*15+10) usw

Yn=(3/4)^n*15+10

Es gibt also einen von t abhängigen Teil und einen von t unabhängigen Teil . Der von t unabhängigen Teil ist unser Grenzwert y=10

Wir können

Mit An=(3/4)^n*15 auch schreiben

Yn= An+y

An ist eine Folge, die gegen Null strebt, Yn strebt also gegen 10.

Nun soll ich das kleinste n finden, so dass dieser Abstand (unser An) kleiner 0,5 =1/2 ist.

An=(3/4)^n*15<1/2

(3/4)^n<1/30

ln((3/4)^n)<ln(1/30)

n*ln(3/4)<ln(1/30)

Achtung, wenn ich jetzt durch ln(3/4) dividiere, ändere ich die größer als Relation, denn ln(3/4)<0

Darum führt es zu

⌈Ln*(1/30)/ln(3/4)⌉=t=12

Oder auch, wie ich schrieb

⌈Ln*(1/30)/ln(0,75)⌉=t=12

Bei t=12 ist der Abstand zu 10 kleiner als 0,5 dieser Abstand wird immer kleiner, doch die Folge Yn kann nie kleiner als 10 werden, denn An wird zwar immer kleiner, doch es gilt immer:

An>0

Für alle n≥12 ist An<0,5, darum geht es, diese 12 sollten wir finden.

Entschuldigt die Verwirrung, zwischenzeitlich habe ich mit n statt mt t argumentiert, Doch bei meiner Antwort habe ich das wieder rückgängig gemacht.

Hallo!


Lieben Dank Dir für die ausführliche Rückmeldung. Ich verstehe es einigermaßen.

Wieso teilst das hier so auf (s.u.)? Danach habe ich es leider nicht verstanden – aber bis dahin schon. :)

Lieben Dank Dir!!


Y1=(3*(10+15)+10)/4

Y1=(3*15+*4*10)/4

Y1=(3/4*15+10)

Da bin ich ja noch auf der Suche nach einer allgemeinen Formel. Dafür habe ich das Bildungsgesetz genommen und versucht einen Wert zu finden, der bei der Rekursion sich nicht verändert und einen, der Zeitabhängig ist .

Dazu habe ich die 25 aufgeteilt in 15 und 10. Dann ist das im Prinzip das Distributivgesetz, Denn ich habe 3*10 genommen und 1*10 dazu addiert und dann habe ich 4*10 bekommen plus die 3*15  nun konnte ich durch 4 teilen und habe vorne den zeitabhängigen Ausdruck und hinten die 10 stehen. Beim nächsten Schritt nehme ich dann vorne mal 3 / 4 und hinten immer (3*10 +10)/4=10

Denn ich soll nach der rekursiven Formel ja

Yn=(Y(n-1)*3+10)/4

Für den hinteren Teil ist das dann immer (3*10+10)/4 =10

(3*10+10)/4= 10 (3*10+10)/4=10

Das bleibt immer dasselbe.

Nur der vordere Teil, der zeitabhängige Teil, da ändert sich das dann, wie beschrieben.

Ach!!!! Jetzt verstehe ich es! Das war doch eigentlich so einfach – ich weiß echt nicht, warum ich es davor nicht verstanden habe!! Lieben Dank Dir, Hogar für die nette Hilfe!! :)


Liebe Grüße aus Oxford:),

Lounger!

Das ist schön, gute Nacht. Hogar

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