Bestimme die Länge d in Abhängigkeit von a.

Question

Einem gleichseitigen Dreieck ABC mit der Seitenlänge a wird ein Parallelogramm CDEF einbeschrieben, sodass die Punkte D, E und F auf je einer Dreiecksseite liegen und die Diagonale d des Parallelogramms senkrecht auf einer Seite des Dreiecks steht.

Bestimme die Länge d in Abhängigkeit von a.

Answer 1

Geometrische Lösung:

Zeichne eine Parallele zu d durch den Punkt E.

Der Schnittpunkt mit BC sei H

Es entstehen vier kongruente Dreiecke.

Damit ist DE=CF=1/3*a

d =DF=EH

EH ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck EBF, dessen Seitenlänge 2/3*a ist.

Damit erhalten wir d= 1/2*2/3*a*√3, also

d=1/3*a*√3

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Komplizierte Lösung:

AE=x

Höhe im Dreieck AED → 0,5x√3

Höhe im Dreieck EBF → 0,5*(a-x)*√3

Differenz der Höhen → 0,5(a-2x)*√3

Von D aus horizontal nach rechts,

von F aus vertikal nach unten → Neuer Punkt G

DG=0,5x+0,5(a-x)=0,5a

Rechtwinkliges Dreieck DGF:

DG²+GF²=d²

d²=(0,5a)²+(0,5*(a-2x)√3)²

=0,25a²+0,75*(a²-4ax+4x²)

=a²-3ax+3x²

Rechtwinkliges Dreieck DEF:

d²=(a-x)²-x²=a²-2ax

3x²-ax=0

x=0 entfällt

x=a/3

d²=a²-2a²/3=1/3*a²

d=a*√(3)/3

Comments

Zuerst habe ich mit Pythagoras eine komplizierte Losung gefunden. Dann fiel mir eine einfachere geometrische Lösung ein.

:-)

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Ich dachte schon, meine Lösung ist kurz, danke, ich werde sie ändern.

:-)

Answer 2

Weil der Fragesteller mich nicht verstanden hat, jetzt ausführlich.

Paralleligramm; Gleichseitiges Dreieck

$$|CF|=|AD|=|DE|$$

Siehe Skizze

$$a=|CD|+|AD|$$

|CF| =|CD|* cos 60°= |CD|/2

$$|CD|= 2|CF|$$

$$a= 3|CF|)$$

d=tan60° *|CF|

$$d= \sqrt{3} *|CF|$$$$d=a/\sqrt{3}$$

Falls noch Fragen sind, bitte melden .

Gruß, Hogar

Comments

Begründung für deine erste Zeile?

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|AD|=|DE|

$$gleichseitiges$$$$Dreieck$$

$$gleichseitiges$$$$Dreieck$$

$$gleichseitiges$$$$Dreieck$$

$$gleichseitiges$$$$Dreieck$$
$$gleichseitiges$$$$Dreieck$$

$$gleichseitiges$$$$Dreieck$$

---

Gleichseitiges Dreieck

a=b=c

α=β=γ=60°

h_a=h_b=h_c=

Mittelsenkrechte=

$$a*\sqrt{3} /2=$$

$$a*sin(60°)=$$

$$a*cos(30°)≈0,8660254038$$

Leider zeigt mein Rechner nicht mehr an.

Falls du noch mehr Fragen hast, ich helfe Dir gerne. Habe keine Angst zu fragen. Wir sind doch da, um uns zu helfen. Lass Dich nicht entmutigen.

Liebe Grüße, Hogar

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$$|AD|=|DE|=|ED|=|CF|=1/3 a$$

$$|DC|=|EF|=|EB|=2/3 a$$

$$|AB|=|BC|=|CA|=a$$

$$|DB|=|CE|=5/(2 \sqrt{3}) *a$$

Was fehlt noch?