Ich setze die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung voraus:
Lemma:
Sei a=p1e1⋯pkek, dann gilt
a Quadratzahl ⟺ e1,...,ek gerade.
Beweis:
"=>" Sei a eine Quadratzahl, dann existiert ein b mit b2=a, etwa b=q1f1⋯qlfl. Also ist a=q12f1⋯ql2fl, wegen der Eindeutigkeit der PFZ folgt k=l und nach eventuell umnummerieren e1=2f1, ..., ek=2fk, d.h. die ei sind alle gerade.
"<=" Seien e1,...,ek gerade, etwa ei=2fi, dann ist a wegen a=(q1f1⋯pkfk)2 offensichtlich eine Quadratzahl.
Jetzt zur eigentlichen Aufgabe:
Sei n eine Quadratzahl, wie oben gezeigt hat n eine PFZ der Form n=22e0⋅p12e1⋯pk2e2 mit e1,...,ek∈N und e0∈N0 (e0 kann auch 0 sein, falls 2 kein Primfaktor ist). Wir betrachten nun 2n: 2n=22e0+1⋅p12e1⋯pk2e2
Da 2e0+1>0 und ungerade kann 2n keine Quadratzahl sein (vgl Lemma oben).