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Hallo!

Wieso kann a*7 + 3 keine Quadratzahl sein?  

mfg legendär
von 4,8 k
Wenn man schon a =einsetzt kommt raus. Also kann es keines mehr sein. Hab mich vertippt. Also a>=0 muss schon mal virgesagt werden.
Ja. Das stimmt
Wo ist die antwort hin?
Ja, das frag ich mich auch...
Immai: hattest du nicht Schwierigkeiten mit dem Hochladen deiner Antworten, wenn da Ungleichzeichen drinn sind? Vielleicht gibt's da noch ein anderes Zeichen, das deine Antworten frisst.
Könnte glad sein ,ja.als ich mal versucht habe sparprodukt einzugeben hat er es nicht aus gegeben. Musste dazwischen immer ein leerzeichen setzen sonst ging es nicht.
Komisch oder^^. Aber ich hätte ehrlich gesagt auch a^2=7a+3 gemacht und dann mnf angewendet.
Ich hatte die Antwort ausgeblendet, da sie a^2 angenommen hat - und die Frage damit nicht beantwortet war.

Die Antwort habe ich jetzt wieder eingeblendet für euch, jedoch beantwortet sie nicht explizit die Frage oben.

Liebe Grüße
Kai

Die Bedingung sollte lauten

b^2 = 7·a + 3

Und hier sollte es dann keine Lösung für natürliche Zahlen geben. 

a = (b^2 - 3)/7

Das b^2 - 3 nicht durch 7 teilbar ist könnte man jetzt eventuell mit vollständiger Induktion zeigen.

Wieso b^2?. Wieso nicht a? Ich werde mal um zu üben die induktion versuchen^^ weil das kommt bei 7ns bald auch dran.

Annahme 7·a + 3 sei eine Quadratzahl. Dann gilt

b^2 = 7·a + 3

Weil ja nur b^2 eine Quadratzahl ist. b wäre nur eine Zahl.

Das mit b^2 ist mir schon klar. Nur wieso nicht wieder a benützen?

Weil 7·a + 3 irgendeine Quadratzahl sein soll und nicht zufällig das Quadrat von a.

Tut mir leid aber wieso nicht? Ich hab irgendwie ein hänger

Weil dort steht

Wieso kann a*7 + 3 keine Quadratzahl sein?

und nicht

Warum kann a*7 + 3 nicht das Quadrat von a sein?

Meinen sie es so beispiel mit a=1. B^2=7×1+3. B^2=10. So klappt es irgendwie nicht oder?. Ok aber ich schaffe es mit einem zahlen beispiel aber nicht.
Das soll ja auch für kein a und b gehen. egal welche Werte du für a oder b einsetzt. Das soll man ja laut der Aufgabe zeigen.
Hm. Hast du überhaupt die Aufgabe gelesen bzw. verstanden?
immai meint wahrscheinlich, dass b^2 = a^2 sein könnte. Damit wäre die Lösung unten eine mögliche Version dafür, dass a*7+3 eine Quadratzahl ergeben kann. lg Kai

Also zunächst mal sind Quadratzahlen Zahlen, die durch die Multiplikation einer ganzen Zahl mit sich selbst entstehen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratzahl

Also damit sind die Zahlen 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... gemeint.

b^2 = 10 ergibt sich zwar aus wurzel 10 mal wurzel 10 aber ich schrieb b^2 für eine quadratzahl und damit b ∈ Z.

Jetzt gibt es natürlich eine Lösung für a ∈ R

100 = 7·a + 3
a = 97/7

Das ist ja witzlos. Vor allem weil zu zeigen ist das a*7 + 3 keine Quadratzahl sein kann. Von daher muss man hier wohl annehmen das a ∈ N oder a ∈ Z gemeint ist.

Wir legen also fest wie erwartet: 7*a + 3 = b^2 und a, b ∈ ℤ

Es soll also gezeigt werden: b ≠ √(7*a + 3) für a, b ∈ ℤ

Wir müssen also nachweisen, dass √(7*a + 3) keine Ganze Zahl ergeben kann.

Eine ganze Zahl wäre rational, also durch einen Bruch darstellbar.

Weisen wir also nach, dass √(7*a + 3) nicht rational, sondern irrational ist (indirekter Beweis).

√(7*a + 3) = p / q    | sei rational, also als Bruch p / q darstellbar

→ es gilt: p und q sind teilerfremd

√(7*a + 3) = p / q    | ()^2

(7*a + 3) = p^2 / q^2

(7*a + 3) * q^2 = p^2

7*a*q^2 + 3*q^2 = p^2

Ist p^2 nun gerade oder ungerade?

Danach ist zu prüfen, ob q^2 gerade oder ungerade ist.

Wenn beide nachher gerade sind oder beide ungerade sind, dann widerspricht das der Annahme, dass p und q teilerfremd sind. Der Widerspruch sagt uns, dass √(7*a + 3) nie eine Ganze Zahl ergibt.

Reicht das als erster Ansatz?

Vorhin war es nur ein Missverständnis, jetzt ist es richtig falsch.
Ja so hatte ich es verstanden. Das linke und rechte die selbige quadratzahl ergeben muss.
Achso und ich dachte das in dem fall die zahln z.b. 2 auch eine sein soll da die wuzel 4 eine 2 ergibt. Und somit alle zahlen >=0 gelten. Danke.
Haha. Leider ist die sache hier etwas durcheinander geraten(zum mindestens auf meinem handy^^). Kann der fragesteller die aufgabenstellung bitte ganz reinstellen?.a=(b^2-3)/7 kann man das jetzt mit induktion zeigen? Ich wuerde es versuchen mit der annahme A(n)=>n+1 nachzuweisen reicht dieser ansatz auch?.danke.

2 Antworten

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Beste Antwort
Angenommen es gäbe eine Quadratzahl n² mit n²=7a+3 für ein geeignetes a, dann wäre auch $$n^2\equiv 3 \mod 7$$. Es muss also nur gezeigt werden, dass 3 keine Quadratzahl modulo 7 ist. Das könnte man mit dem Legendre/Jacobi-Symbol machen, oder man bestimmt einfach per Hand alle Quadrate modulo 7: 0,1,4,2.
von
wenn n eine Quadratzahl ist, ist n² eine vierte Potenz
Leider kann ich den Text nicht mehr ändern. Da sollte stehen: Angenommen es gäbe eine Quadratzahl n² ...
Endlich hat mal jemand diese Aufgabe gelöst
Aber wie genau kann man das jetzt mit dem Legendre-Symbol machen?
0 Daumen

Diese Lösung geht davon aus, dass du meinst: a^2 = a*7 + 3

Dann stellst du um zu:

a^2 - 7*a - 3 = 0

Jetzt kannst du die p-q-Formel benutzen, um die quadratische Gleichung aufzulösen.

Ergebnisse sind gerundet:

a1 = 7,405

a2 = -0,405

Probe mit a1:

a*7 + 3 = y

7,405*7 + 3 = y

y = 54,835

√54,835 = 7,405

 

Wenn du dich jedoch im Rahmen der Ganzen Zahlen bewegst, so gibt es hier keine Lösung.

Schöne Grüße
Kai

 

PS: Zeichne die beiden Terme als zwei Funktionsgraphen. Dann siehst du die beiden Schnittpunkte (x-Werte sind die Lösungen).

 

Lösungsweg p-q-Formel:

pq-formel berechnung

Programm hier: https://www.matheretter.de/w/quadratischegleichung#programme

von 7,6 k
Wieso a^2 = 7*a + 3 (wieso zweimal a)? Warum sind diese Zahlen gleich? Danke!
Ah du hast Recht. Ich hatte angenommen, dass die Variable a als Lösung a^2 vorkommt.

Damit ist die Frage noch offen.

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