Steht die Ableitung eines Einheitsvektors immer senkrecht auf diesem?

Question

Aufgabe:

Wir behandeln zurzeit Ableitungen von Vektoren. Mir ist aufgefallen, dass bei Zylinder- und bei Kugelkoordinaten die Ableitung der Basisvektoren senkrecht auf dem jeweiligen Basisvektor steht. Ich würde gerne wissen, ob das immer so ist oder ob das nur bei diesen besonderen Koordinaten der Fall ist. Unser Übunbsleiter wusste dazu nichts.

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Answer 1

Aloha :)

Wenn der Betrag eines Vektor \(\vec r(t)\) konstant ist, z.B. \(\|\vec r(t)\|=c\), sind dieser Vektor und der abgeleitete Vektor immer orthogonal zueinander, denn:$$\dot{\vec r}(t)\cdot\vec r(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\vec r^2(t)\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}r^2(t)\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}c^2\right)=0$$Die Basisvektoren bei Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten sind so gewählt, dass ihre Länge stets \(1\), also konstant ist. Daher stehen ihre Ableitungen senkrecht auf ihnen.