Zeige oder widerlege. lineare Abbildung

Question

Aufgabe:

Es sei K ein Körper. Zeige oder widerlege:
Für jede lineare Abbildung f : K2 → K2 gilt K2 = Ker(f) ⊕ Im(f).

Ansatz:

Ich dachte dies stimmt nur bei Projektionen. Wäre froh für einen Beweisansatz.

Answer 1

Unter der Annahme, dass $\oplus$ die direkte Summe kennzeichnen soll, ergibt sich für folgende lineare Abbildung:

$f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2, \ (1,0) \mapsto (0,0), \ (0,1) \mapsto (1,0)$

ein Problem, denn es gilt aufgrund von $(1,0)\in \operatorname{Kern}(f)$ und $(1,0)\in \operatorname{Im}(f)$, dass $\operatorname{Kern}(f)\cap \operatorname{Im}(f)\neq \{(0,0)\}$, die direkte Summe also gar nicht existiert.

Dementsprechend ist die Aussage im Allgemeinen falsch.

Comments

Kleiner Tipp: Verwende \operatorname{Im}(f), damit die Abstände richtig gesetzt werden und der Text hochgestellt wird: $\operatorname{Im}(f)\cap \operatorname{Kern}(f)\neq \{(0,0)\}$

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Danke für den Hinweis, ich habe den Beitrag dahingehend geändert.

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Gern geschehen. :)