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Aufgabe:

Eine funktion g ist durch g(x)=e^(-x)-x^2+c.

Berechnen sie alle werte für c so, dass die vom Graphen von f und den Koordinatenachsen vollständig begrenzte Fläche den Inhalt 2 FE besitzt


Problem/Ansatz:

Ich weiß echt nicht wie ich das berechnen soll . Bitte heöfen sie mir

von

Was ist f? Meinst du vielleicht \(f(x)=e^{-x}-x^2+c\)?

f(x)= e^-x - x^2

g(x) = f(x) +c

g(x)=e^-x-x^2+c

Integrationsgrenzen:

x_1=0

e^-x-x^2+c=0 nach x auflösen.

x_2=...


mfG


Moliets

Wie berechne ich nun die richtigen Werte für c ?

mfG


Moliets

Mir ist nichts Neues dazu eingefallen.
@Fragesteller
Ist sonst noch etwas angegeben ?
Stell mal die Frage als Foto der Buchseite ein.

Gast hj2166 hat doch so schön geantwortet. Wie können wir ihn erreichen?


mfG


Moliets

Hallo Peter,

da du hier inzwischen munter weitere Fragen eingibst: Hast du das hier:

https://www.mathelounge.de/763739/berechnen-sie-den-wert-c

inzwischen lösen können oder hast du aufgegeben?

3 Antworten

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Beste Antwort

Den Lösungsweg häppchenweise

1.Zeile : die Funktion
2. Nullstelle
e^(-x) - x^2 + c = 0
c = e^(-x) - x^2 ( hier n genannt )
3. Stammfunktion von f
4.s ( 0 )
5. s bei der Nullstelle n
( obere Integrationsgrenze )
Integrationsfunktion ( oben minus unten )

gm-323-c.JPG

als nächster Schritt wird folgen
Fläche = 2( sc - sn ) = 2
beziehungsweise
Fläche - 2 = 0
Ein Fall für das Newtonsche Näherungsverfahren

Es gibt 2 Lösungen
x = 1.342 und umgerechnet c = x^2 - e^(-x)
c = 1.54

x = -1.811 => c = -2.8368

Die Wertepaare in f eingesetzt ergeben
A = 2

mfg

von 103 k 🚀

Unbenannt.PNG

Text erkannt:

Welche \( x \) erfüllen die Menge \( R \)
\( |x|-1=\frac{1}{2} x \)
\( |x|=\frac{1}{2} x+1 \)
\( \sqrt{x^{2}}=\frac{1}{2} x+\left.1\right|^{2} \)
\( x^{2}=\frac{1}{4} x^{2}+x+1 \)
\( \frac{3}{4} x^{2}-x=1 \mid \cdot \frac{4}{3} \)
\( x^{2}-\frac{4}{3} x=\frac{4}{3} \mid+q \cdot E \cdot\left(\frac{-\frac{4}{3}}{2}\right)^{2}=\frac{4}{9} \)
\( x^{2}-\frac{4}{3} x+\frac{4}{9}=\frac{4}{3}+\frac{4}{9}=\frac{16}{9} \)
\( \left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9} \)
\( x_{1}=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2 \)
\( x_{2}=\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-\frac{2}{3} \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Unbenannt1.PNG

Text erkannt:

[) \( g(x)=-x-10 \)
\begin{tabular}{l}
-1. \\
\hline
\end{tabular}
Täche von DAE = 5

Leider verstehe ich deine Rechnung überhaupt nicht.
Meine Rechnung stimmt.
Sage mir bitte in welcher Zeile du etwas
nicht verstehst.

Entschuldigung: Die Berechnung stimmt zu meiner Zeichnung nicht. Da habe ich die falsche Datei geschickt. Diese schicke ich dir, wenn ich sie wieder fertig habe.

Mein Problem liegt darin, dass ich die nötige Nullstelle in Abhängigkeit zu c nicht finde.



mfG


Moliets

Ich suche c in Abhängigkeit von x
f (x ) = e^(-x) - x^2 + c
Nullstelle
f ( x ) = e^(-x) - x^2 + c = 0
c = - e^(-x) + x^2

In Worten :
das c der Nullstelle entspricht ...
dem x der Nullstelle mit angegeben Term
c und x sind die Werte die gesucht sind
damit A = 2

Ich meinte  c = - e^(-x) + x^2 nach x aufgelöst.


mfG


Moliets

Brauchst du nicht.
Ist wahrscheinlich auch zu kompliziert
oder gar nicht möglich.

Stammfunktion von f bilden und schon
einmal 0 als untere Grenze einsetzen.

Ich schaue jetzt aber erst einmal fern.

Unbenannt.PNG

Text erkannt:

Hier die richtige Datei:
\( f(x)=-x+1 \)
\( g(x)=-x+1+c \)
1. Nullstelle ist \( x=0 \)
2. Nullstelle:
\( -x+1+c=0 \)
\( x=c+1 \)
\( 5=\int \limits_{0}^{c+1}(-x+1+c) \cdot d x=\left[-\frac{x^{2}}{2}+x+c \cdot x\right]_{0}^{c+1}=\left[-\frac{(c+1)^{2}}{2}+(c+1)+c \cdot(c+1)\right] \)
\( 10=\left[-(c+1)^{2}+2 \cdot(c+1)+2 \cdot c \cdot(c+1)\right] \)
\( c_{1}=\sqrt{10}-1 \)
\( c_{2}=-\sqrt{10}-1 \)
1.) \( g(x)=-x+1+\sqrt{10}-1=-x+\sqrt{10} \)
2.) \( g(x)=-x+1-\sqrt{10}-1=-x-\sqrt{10} \)
Bei dieser Aufgabe bekommt man ja sofort die beiden "c".
Bei \( g(x)=e^{-x}-x^{2}+c \) hat mir das ja "Bauchweh" bereitet: Wie finde ich die \( 2 . \) Nullstelle?
Bei obiger Aufgabe kommt man ja auf Anhieb zur Lösung.
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Die Aufgabe hat mich an den Rand des Wahnsinns getrieben sondern auch ein bißchen
drüber hinaus.
ich bin mir jetzt aber sicher und muß dir das
nur noch verständlich kommunizieren.

f ( x ) = e^(-x) - x^2 + c
Stammfunktion
S ( x ) = [ c * x ]  - [ x^3 / 3 ] - e^(-x)
Für die untere Grenze gilt x = 0
S ( 0 ) = - e^0 = -1
Bei der oberen Grenze stört das in der
Stammfunktion 2 Variable sind . c und x
Nullstelle : f ( x ) = e^(-x) - x^2 + c = 0
Ich nenne die x Stelle der Nullstelle
xn.
e^(-xn) - xn^2 + c = 0
c = xn^2 - e^(-xn)
Jetzt tausche ich in der Stammfunktion
c durch xn^2 - e^(-xn) aus
S ( x ) = [ (xn^2 - e^(-xn) ) * x ]  - [ x^3 / 3 ] - e^(-x)
Jetzt setze ich als obere Grenze für x = xn ein
S ( oben ) = [ (xn^2 - e^(-xn) ) * xn ]  - [ (xn)^3 / 3 ] - e^(-xn)
s ( oben ) minus s ( unten ) = 2
Und weils so schön ist schreibe ich wieder
für xn = x
[ (x^2 - e^(-x) ) * x ]  - [ (x)^3 / 3 ] - e^(-x) -( -1 ) = 2

oder
[ (x^2 - e^(-x) ) * x ]  - [ (x)^3 / 3 ] - e^(-x) + 1 -2 = 0
[ (x^2 - e^(-x) ) * x ]  - [ (x)^3 / 3 ] - e^(-x) + 1 -2 = 0
[ (x^2 - e^(-x) ) * x ]  - [ (x)^3 / 3 ] - e^(-x) - 1 
= 0
Jetzt das Newtonsche Näherungverfahren
verwenden ergibt die in meiner Antwort
angeführten Wertepaare.

Ich weiß nicht ob ich mit meinem Lösungsweg
mit x und xn nicht irgendwie doppelt
gemoppelt habe. Es stimmt aber.

Danke dir! Muss mich nun erst noch darin vertiefen.


mfG


Moliets

+1 Daumen

Alternative Lösung :

flächen3.jpg  

von
0 Daumen

Unbenannt.PNG

Text erkannt:

Eine Funktion \( g \) ist durch \( g(x)=e^{-x}-x^{2}+c \)
Berechnen sie alle werte für \( c \) so, dass die vom Graphen von \( f \) und den Koordinatenachsen vollständig begrenzte
Fläche den Inhalt \( 2 \mathrm{FE} \) besitzt
\( 2=\int \limits_{0}^{c}\left(e^{-x}-x^{2}+c\right) \cdot d x=\left[-\frac{1}{e^{x}}-\frac{x^{3}}{3}+c \cdot x\right]_{0}^{c}=\left[-\frac{1}{e^{c}}-\frac{c^{3}}{3}+c \cdot c\right]-\left[-\frac{1}{e^{0}}-\frac{0^{3}}{3}+c \cdot 0\right] \)
\( 1=\left[-\frac{1}{e^{c}}-\frac{c^{3}}{3}+c^{2}\right]= \)
Mit Wolfram:
\( c_{1} \approx 1,608 \)
\( c_{2} \approx 2,46 \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

von 1,9 k

Hallo moliets,
wie kommst du auf " c " als integrationsgrenze ?
Es müßte doch der Nullpunkt genommen
werden.
mfg Georg

Hallo Georg, ich war irrtümlich der Meinung, dass c die Integrationgrenze ist.

Bloß wie komme ich nun an die Werte , wie Gast hj2166 sie im Bild hat?


mfG


Moliets

Meine Rechnung ist ja nun nicht mehr als beste Antwort zu bezeichnen, weil sie schlichtweg falsch ist.


mfG


Moliets

Hallo moliets,

nach zähem Ringen habe ich
c = 1.54
f(x) = e^(-x) - x^2 + 1.54
Integral zwischen 0 und 1.342 = 2
heraus.
Ich muß den Rechenweg aber erst einmal
sortieren.
mfg Georg


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