Was sind genau die Schritte um die Änderungsrate von v=C*(R²-r²) im Abstand r zu berechnen?

Question

Aufgabe: Die Änderungsrate bezüglich des Abstands r bei v=C*(R²-r²) berechnen.

…

Problem/Ansatz: Also laut dem Lösungsbuch ist die Lösung v'(r)=-2C*r aber ich verstehe nicht wie man darauf kommt. Also den genauen Weg. Kann mir wer die Schritte einzeln erklären?

Answer 1

Aloha :)

Außer \(r\) halten wir alle anderen Variablen konstant. Dann ist die Änderungsrate:$$v'(r)=(\underbrace{C\cdot R^2}_{=\text{const}}-C\cdot r^2)'=-C\cdot 2r=-2C\,r$$

Comments

Aber warum müssen Konstanten wegfallen?

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Die Konstanten ändern sich nicht und heben sich daher gegenseitig raus. Vielleicht hilft eine Betrachtung mit Intervallen weiter. Betrachte die Änderung von \(r_1\) auf \(r_2\):

$$\frac{\Delta v}{\Delta r}=\frac{v(r_2)-v(r_1)}{r_2-r_1}=\frac{(CR^2-Cr_2^2)-(CR^2-Cr_1^2)}{r_2-r_1}$$$$\phantom{\frac{\Delta v}{\Delta r}}=\frac{CR^2-Cr_2^2-CR^2+Cr_1^2}{r_2-r_1}=\frac{-Cr_2^2+Cr_1^2}{r_2-r_1}$$$$\phantom{\frac{\Delta v}{\Delta r}}=\frac{-C(r_2^2-r_1^2)}{r_2-r_1}=\frac{-C(r_2-r_1)(r_2+r_1)}{r_2-r_1}$$$$\phantom{\frac{\Delta v}{\Delta r}}=-C(r_2+r_1)=-C((r_1+\Delta r)+r_1)=-2Cr_1-C\Delta r$$Für infinitesimale Änderungen \(\Delta r\to0\) beträgt die Änderungsrate also \(-2Cr_1\).

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Vielen lieben dank für diese Erklärung, es hat mir sehr geholfen besonders weil ich das bei der Lehrerin nicht so gut verstanden habe. Danke