Berechnen Sie das Volumen, das pro Zeiteinheit durch das Dreieck fließt, wenn A(0,3,2), B(7,8,9), C(1,9,6) und …

Question

Aufgabe:

Durch ein Dreiecks mit den Punkten A, B und C strömt eine Flüssigkeit mit dem Geschwindigkeitsvektor v . Berechnen Sie das Volumen, das pro Zeiteinheit durch das Dreieck fließt, wenn A(0,3,2), B(7,8,9), C(1,9,6) und  v(-7,-1,3).

Problem/Ansatz:

Keine Ahnung wie das funktionieren soll, da ich es mir nicht einmal wirklich vorstellen kann... wenn ne Linie durch eine Fläche läuft, ergibt sich doch kein Volumen?!

Answer 1

Hallo,

berechne die Fläche \(F\) des Dreiecks \(F \approx 23,9\) und multipliziere das mit dem Skalarprodukt aus dem Normalenvektor \(n\) der Fläche mit dem Geschwindigkeitsvektor \(v\).

Der Normalenvektor muss normiert sein, also \(|n|=1\) $$\dot V = F \cdot \left< v, n\right> = 143 $$Bem.: der Volumenstrom \(\dot V\) ist vorzeichenbehaftet. Die 'Richtung' der Fläche wird durch \(n\) definiert. Ist \(\dot V \lt 0\) so fließt die Flüssigkeit in die Gegenrichtung zu \(n\).

Sind \(a\) und \(b\) zwei Vektoren, die das Dreieck aufspannen, so ist die Fläche $$F = \frac 12 |a \times b|$$ und $$n = \frac{a \times b}{|a \times b|}$$ Somit ist auch $$\dot V = F \cdot \left< v, n \right> = \frac 12 \left< (a \times b), \, v \right>$$

Stell Dir das Dreieck um den Vektor \(v\) verschoben vor. Das Volumen, das dabei überstrichen wird, ist das gesuchte Volumen pro Zeiteinheit:

(klick auf das Bild)

Answer 2

Stell es dir vor, dass das Dreieck in Richtung v zu einem Rohr mit dreieckigem Querschnitt wird.

Dann musst du nur das Volumen des Dreiecksprisma mit dem Dreieck als Grundfläche

und v als eine Seitenkante berechnen.

Comments

Wie meinst du das? Das Dreieck ist doch eine Fläche und hat kein Volumen?!

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Ein Dreiecksprisma ist ein Körper. Sozusagen eine Säule

mit einer dreieckigen Grundfläche.