Untersuche, ob die Vektoren u,v,w eine Basis des R3 bilden.

Question

Aufgabe:

Es seien $u = \begin{pmatrix}5\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$ , $v = \begin{pmatrix}7\\ -2\\ 6\end{pmatrix}$ und $w = \begin{pmatrix}9\\ 4\\ -8\end{pmatrix}$ . Untersuche, ob die Vektoren $u,v,w$ eine Basis des $\mathbb{R}^3$ bilden, und bestimme ggf. die Darstellung des Vektors

$x = \begin{pmatrix}3\\ 2\\ -2\end{pmatrix}$ bezüglich dieser Basis.

Problem/Ansatz: Ich brauche unbedingt bei dieser Aufgabe Hilfe. Ich weiß nicht wie ich da anfangen soll. Dankeschön schon mal im Voraus.

Answer 1

Linear unabhängig bedeutet doch einfach nur, dass man mit einer Menge von Vektoren $v_1,...,v_n\in V$ in einem $\mathbb{K}$-Vektorraum (bei dir konkret der $\mathbb{R}^3$) den Nullvektor $0_V\in V$ nur trivial darstellen kann, d.h., aus der Darstellung $\alpha_1\cdot v_1+...+\alpha_n\cdot v_n=0_V$

folgt $\alpha_1=...=\alpha_n=0_{\mathbb{K}}\in \mathbb{K}$, wobei $\alpha_1,...,\alpha_n\in \mathbb{K}$ Körperelemente (bei deinem konkreten Fall also reelle Zahlen) sind.

Zeige also, dass aus $\alpha_1\cdot u+\alpha_2\cdot v+\alpha_3\cdot w=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3$ nun

$\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0\in \mathbb{R}$ folgt. (-> Lineares Gleichungssystem lösen).

Für den $\mathbb{R}^3$ brauchst du drei linear unabhängige Vektoren. Sind nun deine gegebenen Vektoren $u,v,w$ linear unabhängig, so bilden diese bereits eine Basis vom $\mathbb{R}^3$. Stelle dann damit $x$ als Linearkombination der Form

$\beta_1\cdot u+\beta_2\cdot v+\beta_3\cdot w=x$ da. (-> Lineares Gleichungssystem lösen).