Aloha :)
Die Kostenfunktion $$C(K,L)=12\cdot K+0,55\cdot L$$soll unter der Nebenbedingung$$F(K,L)=K+L^{0,5}=210$$minimiert werden. Die Lagrange-Funktion dazu lautet:$$f(K,L,\lambda)=12K+0,55L-\lambda(K+L^{0,5}-210)$$
Das Rechnen mit der Lagrange-Funktion ist oft viel zu aufwändig. Einfacher geht es mit der Kern-Idee von Lagrange. In einem Extremum müssen der Gradient der Funktion und der Gradient der Nebenbedingung kollinear sein (d.h. parallel oder anti-parallel). Wenn man beide Gradienten als Spalten in eine Determinante schreibt, muss diese daher null sein:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{cc}\partial_KC & \partial_KF\\\partial_LC & \partial_LF\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}12 & 1\\0,55 & 0,5L^{-0,5}\end{array}\right|=12\cdot0,5L^{-0,5}-1\cdot0,55\quad\Longleftrightarrow$$$$6L^{-0,5}=0,55\quad\Longleftrightarrow\quad L^{0,5}=\frac{6}{0,55}=\frac{120}{11}\quad\Longleftrightarrow\quad L=\left(\frac{120}{11}\right)^2=\frac{14400}{121}$$Damit können wir alle Fragen beantworten:
(a) \(L=\frac{14400}{121}\approx\boxed{119,008264}\)
(b) \(K=210-L^{0,5}=210-\frac{120}{11}=\frac{2190}{11}\approx\boxed{199,090909}\)
(c) Der Lagrange-Multiplikatior \(\lambda\) ist der Faktor, mit dem man den Gradienten der Nebenbedingung multiplizieren muss, um den Gradienten der Funktion zu erhalten:$$\binom{12}{0,55}=\lambda\binom{1}{0,5L^{-0,5}}=\lambda\binom{1}{\frac{11}{240}}\quad\Longleftrightarrow\quad\lambda=\boxed{12}$$Wenn dir das nicht klar ist, kannst du hier auch die Lagrange-Funktion partiell nach \(K\) ableiten:$$0\stackrel!=\partial_Kf=12-\lambda\quad\Longleftrightarrow\quad\lambda=12$$(d) \(C_{\text{min}}=\frac{27000}{11}\approx\boxed{2454,55}\)
