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Aufgabe:

f(x) = (x-2)ex

Punkt A (1,5/1,5)


Berechnen Sie die Tangente t, die an Funktion f gelegt wird.


Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das rechnen soll.

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Da passt was nicht. Der Punkt A(1,51,5)A(1,5|1,5) liegt nicht auf dem Graphen der Funktion, denn:f(1,5)1,5f(1,5)\ne1,5

Das ist das Problem, gesucht ist die Tangente, die durch diesen Punkt geht. An jeder Stelle der Funktion gibt es eine Tangente,und eine dieser Geraden, geht durch A(1,5;1,5)

Seltsam nur, dass es keine Lösung für t(1.5)=f(a)(1.5a)+f(a)=1.5t(1.5)=f'(a)(1.5-a)+f(a)=1.5 gibt.

An jeder Stelle der Funktion gibt es eine Tangente, und eine dieser Geraden, geht durch A(1,5; 1,5)

Ist das wirklich so? Hast du das geprüft?

Es scheint tatsächlich keine Tangente hier zu geben:


Wenn es keine gibt, umso besser.

2 Antworten

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Das soll sicher A(1.5 | f(1.5)) lauten

Funktion und Ableitung

f(x) = ex·(x - 2)
f'(x) = ex·(x - 1)

a = 1.5
f(a) = - e^(3/2)/2
f'(a) = e^(3/2)/2

Tangente

t(x) = f'(a)·(x - a) + f(a)

t(x) = e^(3/2)/2·(x - 1.5) - e^(3/2)/2 = e^(3/2)·(2·x - 5)/4 = 0.25·e1.5·(2·x - 5) = 2.240844535·x - 5.602111337

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Hallo,

berechne die y-Koordinate des Punktes, indem du 1,5 für x in die Ausgangsgleichung einsetzt.

f(x)=(x2)exf(1,5)=(1,52)e1,5=2,24P(1,252,24)f(x)=(x-2)\cdot e^x\\ f(1,5)=(1,5-2)\cdot e^{1,5}=-2,24\\P(1,25|-2,24)

Berechne die Ableitung an der Stelle x = 1,5

f(x)=xexexf(1,5)=1,5e1,5e1,5=2,24f'(x)=x\cdot e^x-e^x\\f'(1,5)=1,5\cdot e^{1,5}-e^{1,5}=2,24

Nun hast du die Steigung m der Tangentengleichung y = mx + b

Um b zu bestimmen, setzt du die Koordinaten des Punktes und die Steigung in diese Gleichung ein und löst nach b auf.

y=2,24x+b2,24=2,241,5+bb=285=5,6Tangentengleichung : y=2,24x5,6y=2,24x+b\\ -2,24=2,24\cdot 1,5 + b\\ b = -\frac{28}{5}=-5,6\\[20pt] \text{Tangentengleichung:}\\y=2,24x-5,6

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Gruß, Silvia

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