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Aufgabe:

Wie lautet die Gleichung der Tangente die von Punkt A = (-1;0) aus an den Funktionsgraphen y = x^(1/2) gelegt wird?


Problem/Ansatz:

Ich weiss nicht wie ich den Punkt der Funktion finde an dem die Tangente dann genau durch den Punkt A verläuft. Ich habe Probiert die Punkt-Steigungs Form einer Geraden zu benutzen und g(x)=y'(x) zu setzen aber ich bekomme da keine Lösung.

Mit freundlichen Grüßen

von

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die Punkt-Steigungs Form einer Geraden zu benutzen

        \(t(x) = \frac{y_2-y_1}{x_2 - x_1}\left(x - x_1\right)+y_1\)

von Punkt A = (-1;0) aus

Einsetzen für \((x_1;y_1)\) ergibt

    \(t(x) = \frac{y_2}{x_2 + 1}\left(x +1\right)\).

an den Funktionsgraphen y = x^(1/2)

Einsetzen von \(y_2 = x_2^{\frac{1}{2}}\) ergibt

    \(t(x) = \frac{x_2^{\frac{1}{2}}}{x_2 + 1}\left(x +1\right)\).

Damit \(t\) eine Tangente bei \(x_2\) ist, muss

        \(t'(x_2) = f'(x_2)\)

sein, also

        \(\frac{x_2^{\frac{1}{2}}}{x_2 + 1} = \frac{1}{2}x_2^{-\frac{1}{2}}\).

von 69 k 🚀
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Hallo

die Gerade durch A : y=mx+b 0=-m+b also m=b also y=mx+m

muss durch den Punkt (x1,√x1) gehen und die Steigung  f'(x1) haben also m=1/(2√x1) haben also : √x1=m*x1+m

bzw √x1=1/(2√x1)*x1+1/(2√x1) damit bestimmst du x1

Gruß lul

von 56 k 🚀
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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Gleichung der Tangente \(t(x)\) an eine Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) lautet allgemein:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$

Wir kennen hier zwar \(f(x)=\sqrt x\), aber nicht \(x_0\). Dafür wissen wir, dass die Tangente \(t(x)\) durch den Punkt \(A(-1;0)\) gehen muss, das heißt:

$$0\stackrel!=t(-1)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(-1-x_0)=f(x_0)-f'(x_0)\cdot(1+x_0)$$Wir dividieren durch \(f'(x_0)\) und finden eine Gleichung für \(x_0\):$$0=\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}-(1+x_0)\implies x_0=\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}-1$$

Das sieht schlimmer aus als es ist, denn mit \(f(x_0)=\sqrt{x_0}\) und \(f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt x_0}\) finden wir:$$x_0=\frac{\sqrt{x_0}}{\frac{1}{2\sqrt x_0}}-1=\sqrt{x_0}\cdot2\sqrt{x_0}-1=2x_0-1\implies x_0=1$$

Damit haben wir die gesuchte Tangente gefunden:

$$t(x)=f(1)+f'(1)\cdot(x-1)=\sqrt{1}+\frac{1}{2\sqrt1}\cdot(x-1)=1+\frac{1}{2}(x-1)$$$$t(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

~plot~ sqrt(x) ; x/2+1/2 ; {-1|0} ; {1|1} ; [[-2|4|-1|3]] ~plot~

von 67 k 🚀

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