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Hallo liebes Forum,

ich habe ein kleines Problem bei der Berechnung einer Spirale. Es geht darum, die Umgänge einer Spirale mit gegebener Länge (2000 mm), einer Dicke (Klingenstärke) von 0,4 mm welche in einen Zylinder (Innendurchmesser 50 mm) gewunden wird, zu berechnen. Es wird davon ausgegangen, dass die Feder sich komplett bis zum letzten Umgang außen anlegt.

Hier ein kleines Bild zur Veranschaulichung:

Hier ein kleines Bild zur Veranschaulichung

Wie viele Umgänge liegen außen an??

Und wie berechne ich das?

Vielen Dank schon mal :-)

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4 Antworten

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Beste Antwort


  falls ich den Sachverhalt richtig verstanden habe beträgt die
Länge der Klinge im

1.  Umlauf : d * pi = 50 * 3.14
2. Umlauf : d - 2*0.4 = 49.2 * 3.14 ... usw

bis 2000 mm ereicht sind. Nach

14 Umläufen beträgt die Länge 1970 mm
15 Umläufe 2092 mm

  Stimmt das so theoretisch und mit deinen Erfahrungswerten überein ?

  Ich habe mir zur Berechnung ein kleines Computerprogramm geschrieben.
Bei Interesse kann es dir zur Verfügung gestellt werden.

  mfg Georg
Avatar von 122 k 🚀
Hallo georgborn, danke dir für die schnelle Antwort.


Das Ergebnis kommt sehr gut hin.

Es währe echt nett von dir wenn du mir dieses Computerprogramm senden könntest, da ich nicht so fit mit dem Pc bin, aber dennoch diesen Sachverhalt in Zukunft öfter berechnen müsste.


Meine Mailadresse dafür währe die: *E-Mails nicht erlaubt*


Vielen Dank nochmal für die schnelle und kompetente Hilfe :)

Hallo Georg kannst du mir das Programm auch schicken habe gerade das Thema auf dem Tisch das ich anhand einer Aufwicklung stoff auf welle die Die Spirallänge und Umdrehungen heraus bekommen muss

Ich habe mal noch eine meiner Meinung nach etwas einfachere Rechnung hiinzugefügt

https://www.mathelounge.de/76615/umgange-einer-spirale-berechnen?show=1027640#a1027640

Hi ich steige da grad voll aus sorry.

Ich habe Innendurchmesser 65mm ; Dicke 0,6; höhe 3000mm gegeben

wie errechne ich wieviel Umdrehungen die Spirale hat?

Hast du eine einfache formel für mich oder exceltool?

Wo sind genau die Schwierigkeiten? Die Gleichung

pi·(32.5^2 - (32.5 - n·0.6)^2) = 3000·0.6

ist nach n aufzulösen.

pi·(32.5^2 - (32.5 - n·0.6)^2) = 3000·0.6 --> n = 17.52682023

Man kann dafür auch eine allgemeine Formel entwickeln, in die man nur einsetzen muss.

n = (√pi·d - √(pi·d^2 - 4·b·l))/(2·√pi·b)

d: Duchmesser (innen) des Zylinders
l: Federlänge
b: Federdicke (breite)

Das Programmieren habe ich aufgegeben.
Das alte Programm habe ich auch nicht
mehr gefunden.

mfg Georg

Also bei mir wenn ich mit dieser Formel rechne kommt syntaxfehler am Taschenrechner

Ohne zu wissen was du eingetippt hast kann ich dir nicht sagen wo du einen Fehler gemacht hast. Gib notfalls erstmal kleinere Teilterme ein, die du berechnen kannst.

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hi

1)
z.b. kann man sich vorstellen, dass die spirale(näherungsweise)
aus konzentrischen kreisringen der stärke s = 0.4mm besteht.
der größte kreisring hat den mittleren durchmesser
D1 = D - s = 50mm - 0.4mm = 49.6mm
mit dem zugehörigen mittleren umfang U1 = 155.8mm
der zweitgrößte kreis hat den mittleren durchmesser
D2 = D - 3s = 50mm - 3*0.4mm = 48.8mm
mit dem zugehörigen mittleren umfang U2 = 153.3mm
D3 = D - 5s = 50mm - 5*0.4mm = 48mm
mit dem zugehörigen mittleren umfang U3 = 150mm
...
Dn = D - (2n-1)s
in diesem sinne fahren wir fort, und summieren die umfänge,
solange die summe aller umfänge <= 2000mm ist.

  n    Un                   Summe Un
  1    155.822996     155.822996
  2    153.309721     309.132717
  3    150.796447     459.929164
  4    148.283173     608.212338
  5    145.769899     753.982237
  6    143.256625     897.238862
  7    140.743351     1037.982213
  8    138.230077     1176.212290
  9    135.716803     1311.929092
10    133.203529     1445.132621
11    130.690254     1575.822875
12    128.176980     1703.999855
13    125.663706     1829.663561
14    123.150432     1952.813993

14 vollständige konzentrische kreisringe(das entspricht 14 umgängen) der stärke s = 0.4mm lassen sich so ineinander verschachteln. es verbleibt eine restlänge von 2000mm - 1952.813993mm = 47.186mm

2)
bei großen längen wird obige vorgehensweise recht mühsam. es sei denn man lässt den computer rechnen, das habe ich nämlich gemacht :P

bleiben wir bei der vorstellung von konzentrischen kreisringen der stärke s.
die durchmesser und damit auch die umfänge werden von außen nach innen immer kleiner.

D1 = D - s
D2 = D - 3s
D3 = D - 5s
...
Dn = D - (2n-1)s

U1 = (D - s)π = Dπ - sπ
U2 = (D - 3s)π = Dπ - 3sπ
U3 = (D - 5s)π = Dπ - 5sπ
...
Un = (D - (2n-1)s)π = Dπ - (2n-1)sπ

die gesamtlänge der angenäherten spirale ist die summe aller umfänge
L = U1 + U2 + ... + Un
L = Dπ - sπ + Dπ - 3sπ + Dπ - 5sπ + ... + Dπ - (2n-1)sπ
L = nDπ - sπ - 3sπ - 5sπ - ... - (2n-1)sπ
L = nDπ - sπ(1 + 3 + 5 + ... + (2n-1))
L = nDπ - sπn^2
der letzte schritt der umformung ist die anwendung der summenformel für die ersten
n ungeraden zahlen. weitere umformungen führen zu einer quadratischen gleichung
-sπn^2 + nDπ - L = 0 | : (-sπ)
n^2 - n D/s + L/(sπ) = 0

n1,2 = D/(2s) ± √(D^2/(4s^2) - L/(sπ))
n1,2 = D/(2s) ± √(D^2π^2 - 4πLs)/(2πs)

diese quadratische gleichung hat zwei lösungen
n1 = 14.3887, n2 = 110.611
und nur n1 = 14.3887 ist für uns sinnvoll, es sind also n1 = 14 komplette umläufe möglich.
dieses ergebnis ist für uns jedoch nichts neues. :)

3)
betrachten wir die wicklungen ebenfalls näherungsweise als eine spirale mit variablem radius r. der größte mittlere radius ist
r1 = D/2 - s/2
dann schrumpft der radius r bei jedem vollen umlauf von außen nach innen um jeweils Δs
r2 = D/2 - 3s/2
r3 = D/2 - 5s/2
...
rn = D/2 - (2n-1)s/2

betrachten wir die änderung des radius in abhängigkeit vom winkel φ, so können wir eine
abhängigkeit vom winkel wie folgt angeben:
r(φ) = D/2 - (φ + π)*s/(2π)

warum?

eine umdrehung entspricht 2π. berechnen wir den radius für die ersten zwei umläufe:
r(2π) = D/2 - (2π + π)*s/(2π) = D/2 - 3πs/(2π) = D/2 - 3s/2
r(4π) = D/2 - (4π + π)*s/(2π) = D/2 - 5πs/(2π) = D/2 - 5s/2
wie man sieht entspricht das der oben angegebenen gesetzmäßigkeit.
die gleichung r(φ) = D/2 - (φ + π)*s/(2π) bröseln wir noch etwas auf in
r(φ) = D/2 - φ*s/(2π) - π*s/(2π)
r(φ) = D/2 - φ*s/(2π) - s/2
r(φ) = (D-s)/2 - φ*s/(2π)

(D-s)/2 ist konstant und nur der term φ*s/(2π) ist von φ abhängig.
wir setzen rs(φ) = φ*s/(2π)
und bekommen
r(φ) = D/2 - rs(φ)

rs(φ) = φ*s/(2π) ist die funktion einer archimedischen spirale
rs(φ) = a*φ mit a = s/(2π)
deren bogenlänge sich mit
s(φ) = [a/2 * (φ * √(1 + φ^2) + ln(φ + √(1 + φ^2)))] (von φ1 bis φ2)
berechnen lässt.
https://de.wikipedia.org/wiki/Archimedische_Spirale

oben hatten wir ja schon n = 14 umläufe berechnet. das ergibt einen mittleren radius von
r = 25mm - 14*0.4mm + 0.2mm = 19.6mm.
ab jetzt tun wir so, als sei die gewickelte feder eine archimedische spirale. die archimedische spirale
verläuft vom koordinatenursprung nach außen, wir berechnen den zu r = 19.6mm zugehörigen winkel φ1
rs(φ1) = φ1*s/(2π)
19.6 = φ1*0.4/(2π)
φ1 = 19.6/(0.4/(2π)) = 19.6 * 2π / 0.4
φ1 = 307.876 rad

die spirale endet nach 14 umwicklungen bei einem winkel
φ2 = 307.876 rad + 14*2π = 395.841 rad

wir berechnen die bogenlänge von φ1 bis φ2:
s = [0.4/(4π)*(φ * √(1 + φ^2) + ln(φ + √(1 + φ^2)))] (von φ1 = 703.717 bis φ2 = 785.398) =
0.4/(4π) * ( 395.841 * √(1 + 395.841^2) + ln(395.841 + √(1 + 395.841^2))) -
0.4/(4π) * ( 307.876 * √(1 + 307.876^2) + ln(307.876 + √(1 + 307.876^2)))
= 1970.42mm

die näherung mit den konzentrischen kreisringen ergab bei 14 wicklungen eine länge von rund 1952.8mm.
da die berechnung der bogenlänge über den ansatz als spirale ebenfalls nur eine näherung ist, liegt die wahrheit bezüglich der wahren bogenlänge irgendwo dazwischen bzw. in der nähe beider lösungen.
an der lösung n = 14 wicklungen ändert das aber(in diesem fall) nichts.

gruß
gorgar

Avatar von 11 k
Auch bei Ihnen möchte ich für die Ausführliche und schnelle Hilfe danken! :)
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Wenn sich die Feder komplett bis zum letzten Umgang außen anlegt. haben wir einen Kreisring dessen Wandstärke geteilt durch die Klingenstärke die Umgänge ergibt. 14.3875

Avatar von
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Evtl. über einen Flächenvergleich noch etwas kürzer und einfacher:

pi·(25^2 - (25 - n·0.4)^2) = 2000·0.4 --> n = 14.39 Umgänge

Avatar von 477 k 🚀

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