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Aufgabe: Es seien VV ein KK-Vektorraum und f : VVf: V \to V ein Endomorphismus von VV.

Zeigen Sie:

a) Ist PK[X]P \in K[X] ein Polynom und λK\lambda \in K ein Eigenwert von ff, so ist P(λ)P(\lambda) ein Eigenwert von P(f)P(f). Dann sei speziell ff eine Projektion (f2=f)\left(f^2=f\right), Zeigen Sie:

b) 0k0k und 1k1k sind die einzigen möglichen Eigenwerte von ff.

c) f ist diagonalisierbar.


Ich habe leider keinerlei Ansätze, kann mir da jemand weiterhelfen?

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1 Antwort

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a) Bedenke zuerst für einen Eigenvektor zum Eigenwert λ gilt

f2 (v) = (fof)(v) = f( f(v))  = f ( λv) =  λ*f(v) =   λ*  λ*v =   λ2 *v.

und durch Induktion folgt dann fn (v) =λn *v.

Ist nun P das Polynom anxn + an-1x^(n-1) + ....  a1x + ao und v ein

Eigenvektor zum EW λ , dann gilt

P(f)(v) =   (anfn + an-1f^(n-1) + .... a1f + ao) (v)

         = anfn(v) + an-1f^(n-1)(v) + .... a1f(v) + ao*v

       und wegen oben ist das

        =  an*λn*v + an-1λ^(n-1)*v + .... a1λ*v + ao*v

         =  (an*λn + an-1λ^(n-1)+ .... a1λ + ao ) *v

          = P(λ)*v       q.e.d.

b) f2 = f

<=>  f2 - f = 0

also char. Polynom  x2 - x = x*(x-1) hat die Nullstellen 1 und 0 ,

Das sind also die einzigen möglichen Eigenwerte.

c) Da das char. Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt,

ist f diagonalisierbar.

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Vielen lieben Dank, Mathef

b)  Warum ist x2 - x das char. Polynom?
c)  Dass das char. Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, bedeutet noch nicht, dass der Endomorphismus diagonalisierbar ist.

Hängt der Grad des charakteristischen Polynoms nicht von der Dimension des Vektorraums ab?

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