a) Bedenke zuerst für einen Eigenvektor zum Eigenwert λ gilt
f2 (v) = (fof)(v) = f( f(v)) = f ( λv) = λ*f(v) = λ* λ*v = λ2 *v.
und durch Induktion folgt dann fn (v) =λn *v.
Ist nun P das Polynom anxn + an-1x^(n-1) + .... a1x + ao und v ein
Eigenvektor zum EW λ , dann gilt
P(f)(v) = (anfn + an-1f^(n-1) + .... a1f + ao) (v)
= anfn(v) + an-1f^(n-1)(v) + .... a1f(v) + ao*v
und wegen oben ist das
= an*λn*v + an-1λ^(n-1)*v + .... a1λ*v + ao*v
= (an*λn + an-1λ^(n-1)+ .... a1λ + ao ) *v
= P(λ)*v q.e.d.
b) f2 = f
<=> f2 - f = 0
also char. Polynom x2 - x = x*(x-1) hat die Nullstellen 1 und 0 ,
Das sind also die einzigen möglichen Eigenwerte.
c) Da das char. Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt,
ist f diagonalisierbar.