Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn 2m^2 Material je Regentonne zur Verfügung stehen?

Question

Aufgabe: Eine Firma stellt oben offene Regentonnen für Hobbygärtner her. Diese sollen bei gegebenem Materialbedarf maximales Volumen besitzen.

Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn 2m^2 Material je Regentonne zur Verfügung stehen?

Problem/Ansatz:

Leider habe ich noch keinen richtigen Ansatz. Ich weiß aber, dass die Formel (\(V= \pi r^2 h\)) wichtig ist.

Answer 1

Die Tonnen sollen wohl oben offene Zylinder sein. Deren Materialverbrauch

entspricht dem Boden plus dem Mantel, also

r^2 * pi + u*h = r^2 * pi + 2*r*pi*h .

Die Vorgabe 2m^2 Material bedeutet , wenn man r in cm nimmt

20000 = r^2 * pi + 2*r*pi*h

==>  h =  ( 20000 - r^2 * pi ) / ( 2*r*pi )

Und das Volumen ist ja V = r^2 * pi * h und eingesetzt

gibt das V(r) = r^2 * pi *  ( 20000 - r^2 * pi ) / ( 2*r*pi )

                = 10000r - r^3 * pi / 2

Und davon das Max. bestimmen.

Ableitung = 0 setzen gibt

10000 - 3*pi*r^2 / 2 = 0   ==>   r = √ (20000/ ( 3pi) )≈46

Also ist für etwa 46cm Radius das Volumen der Tonne am größten.

Comments

Vielen Dank. Hat mir sehr geholfen.

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Warum steht dort ein U, was bar der Umfang mit dem Volumen zu tun?! Denn in der Formelsammlung steht : V= pi*r^2*hk

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Mit U·h berechnet man die Mantelfläche der Tonne.

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Wie kommt man r= Wurzel aus 20000/(3*pi)?

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Und wieso wird r negativ?

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Der Schritt davor war 1. Ableitung = 0 setzen

\(10.000-\frac{3\pi r^2}{2}=0\\20.000-3\pi r^2=0\\ -3\pi r^2=-20.000\\ r^2=\frac{20.000}{3\pi}\\r=\sqrt{\frac{20.000}{3\pi}}\)

Answer 2

Ich mache das einfach mal allgemein vor. Du könntest es z.B. nachmalchen indem du für die Oberfläche O direkt immer 2 einsetzt

Nebenbedingung

O = pi·r^2 + 2·pi·r·h --> h = O/(2·pi·r) - r/2

Hauptbedingung

V = pi·r^2·h

V = pi·r^2·(O/(2·pi·r) - r/2)

V = O·r/2 - pi·r^3/2

V' = O/2 - 3·pi·r^2/2 = 0 --> √(O/(3·pi))

h = O/(2·pi·√(O/(3·pi))) - √(O/(3·pi))/2 = √(O/(3·pi)) = r

Damit sollte der Radius so groß wie die Höhe gewählt werden.

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Danke. Sehr hilfreiche Antwort.

Answer 3

H B:  \(V= \pi r^2 h\) soll maximal werden

N B:  O = \( \pi r^2 \) + 2 r \( \pi \)h

\( \pi r^2 \) + 2 r \( \pi \)h= 2 

Nun nach h auflösen und in V=... einsetzen.

Nach r ableiten und =0 setzen.

...

mfG

Moliets

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Danke. Sehr hilfreiche Antwort.