Aloha :)
Die Grundfläche der Pappe beträgt 16cm mal 10cm.V(x)==La¨nge(16−2x)⋅=Breite(10−2x)⋅=Ho¨hex=(160−20x−32x+4x2)xV(x)=4x3−52x2+160xWir suchen das Maximum des Volumens, also müssen wir die erste Ableitung gleich null setzen:0=!V′(x)=12x2−104x+160=12(x2−326x+340)Auf die Klammer wenden wir die pq-Formel an und finden:
x1,2=313±(313)2−340=313±9169−9120=913±949=313±37x1=2;x2=320Die Lösung x=320≈6,67 scheidet aus, weil die eine Seite der Pappe nur 10cm lang ist und man deswegen maximal 5cm einschneiden kann.
Wir prüfen zur Sicherheit noch nach, ob bei x1=2 wirklich ein Maximum vorliegt. Darüber gibt die zweite Ableitung Auskunft:V′′(x)=24x−104⇒V′′(2)=−56<0⇒MaximumDas Maximum finden wir also bei x=2.