0 Daumen
1,5k Aufrufe

Aufgabe:

Aus einem rechteckigen Stück Pappe der Länge 16cm und der Breite 10cm werden an den Ecken Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten und die überstehenden Teile zu einer nach oben offenen Schachtel hochgebogen. Für welchen Wert von x wird das Volumen maximal?

Avatar von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Die Grundfläche der Pappe beträgt 16cm mal 10cm.V(x)=(162x)=La¨nge(102x)=Breitex=Ho¨he=(16020x32x+4x2)xV(x)=\underbrace{(16-2x)}_{=\text{Länge}}\cdot\underbrace{(10-2x)}_{=\text{Breite}}\cdot\underbrace{ x}_{=\text{Höhe}}=(160-20x-32x+4x^2)xV(x)=4x352x2+160xV(x)=4x^3-52x^2+160xWir suchen das Maximum des Volumens, also müssen wir die erste Ableitung gleich null setzen:0=!V(x)=12x2104x+160=12(x2263x+403)0\stackrel!=V'(x)=12x^2-104x+160=12\left(x^2-\frac{26}{3}x+\frac{40}{3}\right)Auf die Klammer wenden wir die pq-Formel an und finden:

x1,2=133±(133)2403=133±16991209=139±499=133±73x_{1,2}=\frac{13}{3}\pm\sqrt{\left(\frac{13}{3}\right)^2-\frac{40}{3}}=\frac{13}{3}\pm\sqrt{\frac{169}{9}-\frac{120}{9}}=\frac{13}{9}\pm\sqrt{\frac{49}{9}}=\frac{13}{3}\pm\frac{7}{3}x1=2;x2=203x_1=2\quad;\quad x_2=\frac{20}{3}Die Lösung x=2036,67x=\frac{20}{3}\approx6,67 scheidet aus, weil die eine Seite der Pappe nur 10cm lang ist und man deswegen maximal 5cm einschneiden kann.

Wir prüfen zur Sicherheit noch nach, ob bei x1=2x_1=2 wirklich ein Maximum vorliegt. Darüber gibt die zweite Ableitung Auskunft:V(x)=24x104V(2)=56<0MaximumV''(x)=24x-104\quad\Rightarrow\quad V''(2)=-56<0\quad\Rightarrow\quad\text{Maximum}Das Maximum finden wir also bei x=2\boxed{x=2}.

Avatar von 153 k 🚀

ich danke dir :)

0 Daumen

Hallo Tanja,

Das Volument eines Quaders wird berechnet mit Länge x Breite x Höhe

Sei a die Seite des ausgeschnittenen Quadrates.

Dann gilt

Länge = 16 - 2a

Breite = 10 - 2a

Höhe = a

Fasse das zu einer Gleichung V(a) zusammen, bilde die 1. Ableitung und löse nach a auf.

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage