Limes von x^p/e^x mit Taylor Entwicklung

Question

Hi ich soll mit der Taylor Entwicklung der Exponentialfunktion zeigen, dass folgendes gilt

lim \( \frac{x^p}{e^x} \)  = 0 für x-->∞

Also habe ich die Definiton der Taylor Reihe eingesetzt

\( \frac{x^p}{1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...} \)  

Jetzt weiß ich aber nicht mehr weiter. Soll ich das irgendwie umschreiben oder einen Trick anwenden?

Answer 1

Hallo,

e^x = 1+x+1/2 x^2 +....+ x^{p+1} /(p+1}! +...

>x^{p+1} /(p+1}!, da alle Summanden positiv sind

Damit gilt

0<x^p / e^x < x^p /[x^{p+1} /(p+1}!] =(p+1)!/x

und damit die Konvergenz gegen 0 aufgrund des Einschliusskriteriums