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Guten Morgen,

ich sitze gerade a folgender Aufgabe und weiß nicht wirklich weiter

Man Berechne:

( 3 \( \vec{a} \)-2 \( \vec{b} \)) ×(\( \vec{a} \) +\( \vec{b} \)) für zwei Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \)


Problem/Ansatz:

Wie man im allgemeinen Vektoren multipliziert ist mir eigentlich klar, also das Skalarprodukt bilden. Aber ich bin hier etwas verwirrt da ich ja keine Vektoren gegeben habe um erst einmal die Klammern zu berechnen, hätte jemand vielleicht einen Hinweis für mich?

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Das Skalarprodukt schreibt man \(\vec a \cdot \vec b\) oder \(\vec a^T \cdot \vec b\) oder \(\left< \vec a, \, \vec b \right>\) oder in Deinem konkreten Fall auch \((3\vec a - 2\vec b)(\vec a + \vec b)\)

und das Vektorprodukt schreibt man \(\vec a \times \vec b\).

Was ist gemeint?

ich habe mich hierbei anscheinend vertan, hierbei ist das Vektorprodukt gefragt ...

Danke für alle eure Hilden, jetzt weiß ich auf jeden fall wie ich hier rechnen muss.

Vektorprodukt ist Ungleich der Skalarmultiplikation! Für das Kreuzprodukt braucht man aber mehr Angaben über Länge und Winkel zwischen a und b.

3 Antworten

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Beste Antwort

Berechne erstmal die Ausdrücke in den Klammern. Du gehst genauso vor wie bei expliziten Werten:

Seien \(a=\Bigl(\begin{smallmatrix}a_1\\[-0.5em] \vdots\\ a_n\end{smallmatrix}\Bigr)\in \mathbb{R}^n\) und \(b=\Bigl(\begin{smallmatrix}b_1\\[-0.5em] \vdots\\ b_n\end{smallmatrix}\Bigr)\in \mathbb{R}^n\). (Die Vektoren müssen die gleiche Dimension besitzen, sonst kann man sie nicht addieren oder multiplizieren.) Außerdem nehme ich an, dass du mit dem binären Operator "\(\times\)" die Skalarmultiplikation meinst und nicht das Vektorprodukt. Dann ist $$\tag{\(*\)}3\cdot \begin{pmatrix}a_1\\\vdots \\ a_n\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}b_1\\\vdots \\ b_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3a_1-2b_1\\\vdots\\3a_n-2b_n\end{pmatrix}.$$ Außerdem ist $$\tag{\(**\)}\begin{pmatrix}a_1\\\vdots \\ a_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\\vdots \\ b_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\\vdots \\ a_n+b_n\end{pmatrix}$$ Setzen wir nun \((*)\) und \((**)\) in die Ausgangsgleichung ein, erhalten wir $$\begin{pmatrix}3a_1-2b_1\\\vdots\\3a_n-2b_n\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}a_1+b_1\\\vdots \\ a_n+b_n\end{pmatrix}=(3a_1-2b_1)(a_1+b_1)+\dots + (3a_n-2b_n)(a_n+b_n).$$

Für den Fall, dass \(\times\) für das Kreuzprodukt steht, bräuchte man mehr Angaben über die beiden Vektoren, um es zu berechnen. Wenn die Dimension der beiden Vektoren größer als 3 ist, kann kein Kreuzprodukt gebildet werden. (Man kann das Kreuzprodukt zwar auf \(n\) Dimensionen verallgemeinern, das sollte aber in dieser Aufgabe nicht das Ziel gewesen sein.)

Avatar von 2,1 k

@Doesbaddel: Du gehst davon aus, dass der Operator '\(\times \)' für das Skalarprodukt steht. Das ist i.A. aber nicht der Fall!

Man verwendet eher \(\times\) für Kreuzprodukte und Punkte für Skalarmultiplikation. Ich nehme jetzt aber einfach mal an, dass er mit \(\times\) die Skalarmultiplikation meinte, weil er auch "Skalarmultiplikation" geschrieben hatte. Ich habe es in meiner Antwort angemerkt.

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Einfach mal die Klammern auflösen.

( 3 \( \vec{a} \)-2 \( \vec{b} \)) ×(\( \vec{a} \) +\( \vec{b} \)) für zwei Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \)

= 3 \( \vec{a}×\vec{a}  + 3 \vec{a}×\vec{b}   -2 \vec{b} ×\vec{a} +\vec{b} ×\vec{b}\)

um weiter zu rechnen müsste man jetzt

1. wissen, ob es Skalarprodukt oder Vektorprodukt ist und

2. ob irgendwas ( Länge, Winkel oder so ) über a und b bekannt ist.

Avatar von 287 k 🚀

Das Kreuzchen-Symbol im Aufgabentext deutet ja schwer darauf hin, dass das vektorielle Produkt ("Kreuzprodukt") gemeint sein soll, obwohl der FS dann wieder vom Skalarprodukt schreibt.

Mit Vektorprodukt vereinfacht sich der Ausdruck dann sehr:

(3a - 2b) × (a + b) = 3 a×a + 3 a×b - 2 b×a - 2 b×b

= 0 + 3 a×b + 2 a×b - 0

= 5 a×b

(die Vektorpfeile soll der/die geneigte Leser*In bitte selber ergänzen ...)

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Vielleicht hilft das

Bilinearität

https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

Avatar von 39 k

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