Gruppenhomomorphismus beweisen! mit Lösungsweg !

Question

Aufgabe:

1. Sei \( (G, \odot, \mathrm{e}) \) eine Gruppe. Sei \( g \in G \) fest gewählt. Definiere die Abbildungen
\(\begin{array}{rlrl} f_{1}: G \rightarrow G \ & f_{2}: G \rightarrow G \ & f_{3}: G \rightarrow G \\x \mapsto x^{-1} & x \mapsto g \odot x & x \mapsto g \odot x \odot g^{-1}\end{array}\)
Beweisen Sie oder widerlegen Sie jeweils, dass \( f_{i} \) ein Gruppenhomomorphismus ist, (i=1,2,3 \)
2. Sei \( k \in \mathbb{N}_{\geq 1} \). Definiere auf \( (\mathbb{Z},+, 0) \) die Untergruppe
\(k \mathbb{Z}:=\{k \cdot z \mid z \in \mathbb{Z}\}\)
Dies ist ein Normalteiler (warum?). Definiere
\(\mathbb{Z}_{k}:=\mathbb{Z} / k \mathbb{Z}\)
a) Geben Sie alle Nebenklassen von \( k \mathbb{Z} \) an.
b) Geben Sie für \( k=2 \) und \( k=3 \) jeweils die Additionstabelle der Gruppenoperation auf \(\mathbb{Z}_{k} \) an.

Problem/Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe versucht, zu lösen, aber ich komme überhaupt nicht voran obwohl ich die Sätze und Definitionen kenne. Könnte mir bitte helfen? ich bedanke mich bei euch im Voraus!

Answer 1

z.B. bei 1a) musst du zeigen:

Für alle x,y aus G gilt f1(x⊙y) ) = f1(x)⊙f1(y).

Das hieße    (x⊙y)^(-1) ) = x^(-1)⊙y^(-1)

Das gilt aber nur in kommutativen Gruppen, also ist das kein Hom.

Nimm dir zum Widerlegen eine nicht komm. Gruppe und gib

ein Gegenbeispiel an.

Auch bei b) findest du ein Gegenbeispiel.

Bei c) ist es ein Hom. Versuche mal einen Beweis und frage ggf. nach.

Comments

Vielen Dank, aber ich habe es leider nicht ganz verstanden was du mit der Lösung meinst, könntest du bitte mehr erklären? :)

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Für einen Gruppenhomomorphismus f1 muss gelten

f1(x⊙y) ) = f1(x)⊙f1(y) für alle x,y aus der Gruppe.

Bei deiner gegebenen Abbildung f1 ist das

- wie gesagt - bei nichtkommutativen Gruppen

nicht der Fall. Vielleicht kennst du die Gruppe

aller bijektiven Abbildungen f:{1;2;3}→{1;2;3} mit der

Hintereinanderausführung o als Verknüpfung.

Das ist die Gruppe der Permutationen in der

Menge {1;2;3}.

Betrachte dort die Permutation

x mit x(1)=3 und x(2)1 und x(3)=2  und

y mit y(1)=1 und y(2)=3 und y(3)=2

und du siehst, es gilt eben nicht

(xoy)^(-1) ) = x^(-1)oy^(-1)

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Aha ok, jetzt habe ich verstanden!