Gruppenhomomorphismus beweisen

Question

Es sei (R, +, ·) ein kommutativer Ring und Φ: R^3 → R^3 gegeben durch Φ(x, y, z) = (2x + 3y + 5z, 4x + 4y + 8z, 6x + 5y + 4z). 

Mein Lösungsweg bisher :

Seien f,g Element R^3

Φ(f+g)=(f+g)(x,y,z)=f(x,y,z)+g(x,y,z)=Φ(f)+Φ(g). 

Gilt das überhaupt als Bew. ?

MfG

Comments

und zu Φ(λ· v) = λ · Φ(v) für  λ ∈ Z und v ∈ R^3 . 

λ · Φ(v) ist ja vielfach von v und liegt auch in R^3  und λ · Φ(v) logischer weise auch.. wie kann ich das aber mathematisch beweisen?

Answer 1

Es sei (R, +, ·) ein kommutativer Ring und Φ: R³ → R³ gegeben durch Φ(x, y, z) = (2x + 3y + 5z, 4x + 4y + 8z, 6x + 5y + 4z). 

Mein Lösungsweg bisher :

Seien f,g Element R³  . Da würde ich spezifizieren  f=(a, b, c) und g= (u,v,w)

Φ(f+g)=Φ(a+u, b+v, c+w )   und dann in die Def. von Φ einsetzen

=   (    2(a+u) + 3(b+v) + 5(c+w),   4(a+u) + 4(b+v) + 8(c+w),   6(a+u) + 5(b+v) + 4(c+w)   )

Und jetzt habe ich ein Problem mit der Bedeutung der Zahlen. Irgendwo muss ja

definiert sein, was  z.B.  5z  für ein Ringelement z bedeutet, vielleicht z+z+z+z+z.

Dann wäre es ja distributiv und du kannst # weiter umformen zu

(2a + 3b + 5c, 4a + 4b + 8c, 6a + 5b + 4c)  +(2u + 3v + 5w, 4u + 4v + 8w, 6u + 5v + 4w)

= Φ(f)+Φ(g).

Comments

Danke für die ausführliche Antwort!

und zu Φ(λ· v) = λ · Φ(v) für  λ ∈ Z und v ∈ R³ .  

λ · Φ(v) ist ja vielfach von v und liegt auch in R³  und λ · Φ(v) logischer weise auch.. wie kann ich das aber mathematisch beweisen?

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Hey justin,

versuche es mal mit Induktion das sollte klappen.Das heißt du zeigst es für Lamda = 0 dann für Lamda=Lamda +1 und dann für Lamda = Lamda-1.Dann kann du auch den Gruppenhomomorphismus benutzen.
Auf dem letzen Übungsblatt war eine ähnliche Aufgabe nicht?

Gruß Hakai