Lösen Sie nach x auf: 1+log(x)=2log(x-1)

Question

Aufgabe:

Lösen Sie nach x auf.

1+log(x)=2log(x-1)

Problem/Ansatz:

Ich versuche mich an den ersten Aufgaben, die wir von unserem Professor bekommen haben. Leider habe ich zuvor nie so wirklich was mit dem Logarithmus zu tun gehabt und weiss nur die Basics. (noch nie damit gerechnet.) Ich bin im ersten Semester. Die Vorlesung ist nicht hilfreich gewesen, da sie nur abgefilmt wurde und somit keine Fragen gestellt werden konnten. Ich würde mich freuen, wen jemand mir genau erklären könnte was hier zu tun ist.

Answer 1

Aloha :)

$$\left.1+\ln(x)=2\ln(x-1)\quad\right|\quad e^{\cdots}$$$$\left.e^{1+\ln(x)}=e^{2\ln(x-1)}\quad\right|\quad\text{jede Seite für sich etwas umformen}$$$$\left.e^1\cdot e^{\ln(x)}=e^{\ln((x-1)^2)}\quad\right|\quad\text{Umkehrfunktion hebt Wirkung der Funktion auf}$$$$\left.e\cdot x=(x-1)^2\quad\right|\quad\text{2-te binomische Formel rechts}$$$$\left.e\cdot x=x^2-2x+1\quad\right|\quad-e\cdot x$$$$\left.x^2-2x-e\cdot x+1=0\quad\right|\quad\text{\(x\) ausklammern}$$$$\left.x^2-(2+e)x+1=0\quad\right|\quad\text{pq-Formel}$$$$x_{1;2}=\frac{2+e}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2+e}{2}\right)^2-1}=\frac{2+e}{2}\pm\sqrt{\frac{4+4e+e^2}{4}-\frac{4}{4}}$$$$x_{1;2}=\frac{2+e}{2}\pm\sqrt{\frac{4e+e^2}{4}}=\frac{2+e}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{4e+e^2}=1+\frac{e}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{(e+2)^2-4}$$Da die Ursprungsgleichung $x>1$ voraussetzt, kommt nur die Lösung mit der positiven Wurzel in Betracht:$$x=1+\frac{e}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(e+2)^2-4}\approx4,495855$$

Falls mit $\log(x)$ der Zehner-Logarithmus gemeint sein sollte, was aber eigentlich $\lg(x)$ ist, ersetze bitte $e$ durch $10$. In diesem Fall ist dann die Lösung $x=6+\sqrt{35}$.

Comments

Vielen lieben Dank für diese ausführliche Erklärung!!!

Answer 2

Bei Seiten hoch 10 nehmen. Dann folgt $$10^{ 1+\log(x) } = 10^{ 2 \log(x-1) } = 10^{ \log (x-1)^2 }$$ Und daraus

$$10 x = (x-1)^2$$ jetzt mit pq-Formel weiter

Answer 3

Text erkannt:

$1+\ln x=2 \cdot \ln (x-1)$
$\ln (x-1)=\frac{\ln x}{2}+\frac{1}{2} \mid e$
$e^{\ln (x-1)}=e^{\frac{\ln x}{2}+\frac{1}{2}}$
$x-1=\sqrt{e} \cdot e^{\frac{\ln x}{2}}$
$x-1=\sqrt{e} \cdot \sqrt{x}$
$\sqrt{x}=\left.\frac{x-1}{\sqrt{e}}\right|^{2}$
$x=\frac{x^{2}-2 x+1}{e}$
$u \cdot s w$
$x_{1}=\ldots$
$x_{2}=\ldots$
Kontrolle, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.
$\mathrm{mfG}$
Moliets

PS: Hier gilt auch der Hinweis von Tschakabumba!