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Ich habe eine Funktion gegeben, die abgeleitet werden soll:

f(x) = log(\( \frac{8x+12}{\sqrt{24+16x}} \))        

Wie rechne ich diese log-Funktion in eine ln-Funktion um, damit ich mit der mir bekannten Formel die ln-Funktion ableiten kann.

ln'(x) = \( \frac{1}{k(x)} \) * k'(x)           wobei k(x) die "innere" Funktion ist.


Gibt es vielleicht eine bessere Methode als log in ln umzuschreiben, sodass man direkt die log-Funktion ableiten kann?

:)

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Aloha :)

Vor dem Ableiten würde ich den Bruch zunächst vereinfachen:$$\left(\log\frac{8x+12}{\sqrt{24+16x}}\right)'=\left(\log\frac{8x+12}{\sqrt2\cdot\sqrt{8x+12}}\right)'=\left(\log\frac{\sqrt{8x+12}}{\sqrt2}\right)'$$$$=\left(\log\sqrt{4x+6}\right)'=\left(\log(4x+6)^{1/2}\right)'=\left(\frac{1}{2}\log(4x+6)\right)'$$Jetzt kann man mit der Kettenregel die Ableitung hinschreiben:$$=\frac{1}{2}\cdot\underbrace{\frac{1}{4x+6}}_{=äußere}\cdot\underbrace{4}_{innere}=\frac{1}{2x+3}$$

Wenn bei der \(\log\)-Funktion keine Basis angegeben ist, ist damit die \(\ln\)-Funktion gemeint. Sollte die \(\log\)-Funktion eine Basis haben, kannst du das wie folgt in eine \(\ln\)-Funktion wandeln:$$\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$

Avatar von 148 k 🚀

Das gilt nur, wenn mit log der natürliche Logarithmus gemeint ist. Ich vermute, dass mit log der Zehnerlogarithmus gemeint ist.

Den Dekadischen Logarithmus kenne ich als \(\lg(x)\). Aber kann schon sein. In Programmiersprachen ist \(\log\) in der Regel \(\ln\), aber auf Taschenrechnern ist \(\log\) oft auch \(\lg\).

Der Fragestellung "Wie rechne ich diese log-Funktion in eine ln-Funktion um..." entnehme ich, dass log hier wohl nicht ln sein soll.

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$$ \log_{10}x=\frac{\ln x}{\ln{10}}$$

Avatar von 47 k

Perfekt, genau danach hab ich gesucht :)

Ich hab das mal anhand dieses Beispiels mal durchgerechnet:

f(x) = log(\( \frac{8x+12}{\sqrt{24+16x}}\))   

      = log(8x+12) - log(\( \sqrt{24+16x}\))

      = log(8x+12) - log((24+16x)\( \frac{1}{2} \))

      = \( \frac{ln(8x+12)}{ln(10)} \) - \( \frac{ln((24+16x) ^{\frac{1}{2}} }{ln(10)} \)

      = \( \frac{1}{ln(10)} \) * ln(8x+12) - \( \frac{1}{ln(10)} \) * ln((24+16x)\( \frac{1}{2} \))


Wenn ich jetzt ableite erhalte ich:

f'(x) = (\( \frac{1}{ln(10)} \) * \( \frac{1}{8x+12} \) * 8) - (\( \frac{1}{ln(10)} \) * \( \frac{1}{(24+16x) ^{\frac{1}{2}}} \)* 8 * (16x+24)\( ^{-\frac{1}{2}} \))

Ist das korrekt und kann ich die letzte Zeile noch weiter vereinfachen?

Sieht gut aus.

Vereinfachen geht so:

$$f'(x) = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{1}{8x+12} \cdot 8 - \frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{ 1}{(24+16x)^\frac{1}{2}}\cdot 8 \cdot (16x+24)^{−\frac{1}{2}}\\ \phantom{f'(x) }=\frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{2}{2x+3}  - \frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{ 8}{24+16x} \\ \phantom{f'(x) }=\frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{2}{2x+3}  - \frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{ 1}{3+2x}\\ \phantom{f'(x) }=\frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{1}{2x+3}  \\$$

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