Ableitung der Logarithmusfunktion und Umrechnen von log zu ln?

Question

Ich habe eine Funktion gegeben, die abgeleitet werden soll:

f(x) = log($\frac{8x+12}{\sqrt{24+16x}}$)        

Wie rechne ich diese log-Funktion in eine ln-Funktion um, damit ich mit der mir bekannten Formel die ln-Funktion ableiten kann.

ln'(x) = $\frac{1}{k(x)}$ * k'(x)           wobei k(x) die "innere" Funktion ist.

Gibt es vielleicht eine bessere Methode als log in ln umzuschreiben, sodass man direkt die log-Funktion ableiten kann?

:)

Answer 1

Aloha :)

Vor dem Ableiten würde ich den Bruch zunächst vereinfachen:$$\left(\log\frac{8x+12}{\sqrt{24+16x}}\right)'=\left(\log\frac{8x+12}{\sqrt2\cdot\sqrt{8x+12}}\right)'=\left(\log\frac{\sqrt{8x+12}}{\sqrt2}\right)'$$$$=\left(\log\sqrt{4x+6}\right)'=\left(\log(4x+6)^{1/2}\right)'=\left(\frac{1}{2}\log(4x+6)\right)'$$Jetzt kann man mit der Kettenregel die Ableitung hinschreiben:$$=\frac{1}{2}\cdot\underbrace{\frac{1}{4x+6}}_{=äußere}\cdot\underbrace{4}_{innere}=\frac{1}{2x+3}$$

Wenn bei der $\log$-Funktion keine Basis angegeben ist, ist damit die $\ln$-Funktion gemeint. Sollte die $\log$-Funktion eine Basis haben, kannst du das wie folgt in eine $\ln$-Funktion wandeln:$$\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$

Comments

Das gilt nur, wenn mit log der natürliche Logarithmus gemeint ist. Ich vermute, dass mit log der Zehnerlogarithmus gemeint ist.

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Den Dekadischen Logarithmus kenne ich als $\lg(x)$. Aber kann schon sein. In Programmiersprachen ist $\log$ in der Regel $\ln$, aber auf Taschenrechnern ist $\log$ oft auch $\lg$.

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Der Fragestellung "Wie rechne ich diese log-Funktion in eine ln-Funktion um..." entnehme ich, dass log hier wohl nicht ln sein soll.

Answer 2

$$\log_{10}x=\frac{\ln x}{\ln{10}}$$

Comments

Perfekt, genau danach hab ich gesucht :)

Ich hab das mal anhand dieses Beispiels mal durchgerechnet:

f(x) = log($\frac{8x+12}{\sqrt{24+16x}}$)   

      = log(8x+12) - log($\sqrt{24+16x}$)

      = log(8x+12) - log((24+16x)^{$\frac{1}{2}$})

      = $\frac{ln(8x+12)}{ln(10)}$ - $\frac{ln((24+16x) ^{\frac{1}{2}} }{ln(10)}$

      = $\frac{1}{ln(10)}$ * ln(8x+12) - $\frac{1}{ln(10)}$ * ln((24+16x)^{$\frac{1}{2}$})

Wenn ich jetzt ableite erhalte ich:

f'(x) = ($\frac{1}{ln(10)}$ * $\frac{1}{8x+12}$ * 8) - ($\frac{1}{ln(10)}$ * $\frac{1}{(24+16x) ^{\frac{1}{2}}}$* 8 * (16x+24)$^{-\frac{1}{2}}$)

Ist das korrekt und kann ich die letzte Zeile noch weiter vereinfachen?

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Sieht gut aus.

Vereinfachen geht so:

$$f'(x) = \frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{1}{8x+12} \cdot 8 - \frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{ 1}{(24+16x)^\frac{1}{2}}\cdot 8 \cdot (16x+24)^{−\frac{1}{2}}\\ \phantom{f'(x) }=\frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{2}{2x+3} - \frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{ 8}{24+16x} \\ \phantom{f'(x) }=\frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{2}{2x+3} - \frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{ 1}{3+2x}\\ \phantom{f'(x) }=\frac{1}{\ln(10)} \cdot \frac{1}{2x+3} \\$$

Alles klar?