0 Daumen
61 Aufrufe

log4(log2x–1)=log169

kann mir jemand beim lösen von diesem logarithmus helfen? ich habe generell grosse Schwierigkeiten bei diesem Thema und sehe überhaupt nicht, wie man darauf kommen soll

von

Hallo,

Es gibt dort folgendes Logarithmusgesetz, das dir nun sehr weiterhilft:$$\log_{a^y}{b^x}=\frac{x}{y}\cdot \log_{a}{b}$$ Versuche einfach mal den Index sowie den Numerus von \(\log_{16}{9}\) in eine Potenz zu schreiben.

Und schreib mal, ob du:$$\log_{4}{(\log_{2}({x})-1)}=\log_{16}{9}$$ ODER$$\log_{4}{(\log_{2}({x-1}))}=\log_{16}{9}$$ meinst.

in der aufgabenstellung steht ausserdem, dass ich keinen Taschenrechner benutzen soll

ich meine die zweite variante

1 Antwort

0 Daumen

Hallo,

Es gibt dort folgendes Logarithmusgesetz, das dir nun sehr weiterhilft:$$\log_{a^y}{b^x}=\frac{x}{y}\cdot \log_{a}{b}$$Versuche einfach mal den Index sowie den Numerus von \(\log_{16}{9}\) als eine Potenz zu schreiben:$$\log_{4}{(\log_{2}({x-1}))}=\log_{16}{9}$$ Die \(16\) kann man umschreiben zu \(2^4\) umschreiben und \(9\) zu \(3^2\). Siehe oben das Potenzgesetz und wandle um:$$\log_{4}{(\log_{2}({x-1}))}=\frac{2}{4}\cdot \log_{2}{3}$$ Nun wende folgendes an:$$\log_{a}{x}=b \quad \text{wird zu} \quad x=a^b$$$$\log_{2}({x-1})=4^{\frac{2}{4}\cdot \log_{2}({3})}$$ Rechne nun \(4^{\frac{2}{4}}\) aus. Du erhältst nun:$$\log_{2}({x-1})=2^{ \log_{2}({3})}$$ Du weißt nun, dass \(2^{ \log_{2}({3})}=3\).$$\log_{2}({x-1})=3$$ Wende nun wieder das obengenannte Gesetz an und erhalte.$$x-1=2^3$$$$x-1=2^3  \quad |+1$$$$x=9$$

von 13 k

Man könnte die rechte Seite auch so vereinfachen:
$$\log_{16}{9} = \dfrac{\log_{4}{9}}{\log_{4}{16}} = \dfrac{\log_{4}{3^2}}{\log_{4}{4^2}} = \dfrac{2\cdot\log_{4}{3}}{2\cdot\log_{4}{4}} = \log_{4}{3}$$Dann kann man \(\log_4\) auf beiden Seiten weglassen (ist ja eine Bijektion) und ist schon bei
$$\log_{2}({x-1})=3$$

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...