Term vereinfachen / Doppelbruch ((x+y)/(x-y)–1)/(1-(x-y)/(x+y))*(1/y - 2(x+y))

Question

$$ \frac { \frac { x+y }{ x-y } -1 }{ 1-\frac { x-y }{ x+y }  } \cdot \left( \frac { 1 }{ y } -\frac { 2 }{ x+y }  \right) $$

wie kann ich diesen Doppelbruch so einfach wie möglich lösen?

Answer 1

Betrachten wir zunächst den Doppelbruch.

Zähler

(x + y) / (x - y) - 1 =

(x + y) / (x - y) - (x - y) / (x - y) =

(2y) / (x - y)

Nenner

1 - (x - y) / (x + y) =

(x + y) / (x + y) - (x - y) / (x + y) =

(2y) / (x + y)

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert, also

[(2y) / (x - y)] / [(2y) / (x + y)] =

[(2y) * (x + y)] / [(2y) * (x - y)] =

(x + y) / (x - y)

Das multipliziert mit dem Term innerhalb der Klammer:

1. (x + y) / (x - y) * 1/y = (x + y) / [y * (x - y)]

2. (x + y) / (x - y) * (-2) / (x + y) = -2 / (x - y)

Insgesamt:

(y - 2) / (x - y)

Ich kann nicht garantieren, dass ich nicht irgendwo einen Rechenfehler eingebaut habe, aber die Logik stimmt :-)

Zähler:

\( \frac{x+y}{x-y}-1=\frac{x+y}{x-y}-\frac{x-y}{x-y}=\frac{2 y}{x-y} \)

Nenner analog mit dem Ergebnis (2y) / (x + y)

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert, also

\( \frac{2 y}{x-y} \div \frac{2 y}{x+y}=\frac{2 y · (x+y)}{2 y · (x-y)}=\frac{x+y}{x-y} \)

Und der Rest:

\( \frac{x+y}{x-y} · \frac{1}{y}=\frac{x+y}{y · (x-y)} \)

\( \frac{x+y}{x-y} · \frac{-2}{x+y}=\frac{-2}{(x-y)} \)

Besten Gruß

Comments

Bruce deine Rechnung stimmt:

((x + y)/(x - y) - 1)/(1 - (x - y)/(x + y))·(1/y - 2/(x + y)) =  1/y

Und ich hoffe hier geben mal mehr ein Daumen hoch für die Mühe.

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Ich hab noch eine Frage bezüglich dem Schluss der Rechnung.

Wie kommst du von (x+y)/y*(x-y) auf (x+y)/(x-y)*-2/(x+y) = -2/(x-y) und dann zum schluss noch, wie kommst du auf Wie kommst du auf 1/y?

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Ich bin auch nicht mehr ganz in dieser Aufgabe drin, aber wenn Du Folgendes meinst:

(x + y) / (x - y) * (-2) / (x + y)

dann kann man das ja zusammenfassen zu

(x + y) * (-2) / [(x - y) * (x + y)]

(x + y) steht also sowohl im Zähler als auch im Nenner und kann deshalb weggekürzt werden:

-2 / (x - y)

Jetzt mal sehen, ob ich den Rest auch noch hinbekomme ...

(x + y)/[y * (x-y)] - 2/(x - y) | rechts mit y erweitern

(x + y)/[y * (x-y)] - 2y/[y * (x-y)] =

(x + y - 2y) / [y * (x-y)] =

(x - y) / [y * (x-y)] | und jetzt kann man kürzen, also Zähler und Nenner durch (x-y) dividieren, es bleibt

1 / y