Hallo Mo,
deine Vorige Aufgabenstellung lautete: $$\begin{aligned} x+3 &\equiv 0 \pmod 5 &&\lvert\;\text{Inverse von } 3 \text{ ist } 2\text{ , weil } 3+2\equiv 0 \pmod 5 \\ x &\equiv 2\pmod 5\\x&=2+5\cdot k \quad k\in \mathbb{Z}\end{aligned}$$
Zu deiner aktuellen Aufgabenstellung (Bearbeitet durch FS): Für die Gleichung gibt es keine Lösungen im Z5: $$\begin{aligned} x^2+x+1&\equiv 0\pmod 5\\x^2+x&\equiv 4\pmod 5\end{aligned}$$ Die einzigen Möglichkeiten für \(x\) sind \(x=1,2,3,4\). Denn alle Vielfachen \(1+5k\) sind äquivalent zu 1 im \(\mathbb{Z}_5\) und alle Vielfachen \(2+5k\) sind äquivalent zu 2 im \(\mathbb{Z}_5\) usw. für alle \(k\in\mathbb{Z}\). Setzen wir ein: $$\begin{aligned}x=1 &&&& 1^2+1&=2&\equiv 2&\not\equiv 4\pmod 5\\ x=2 &&&& 2^2+2&=6&\equiv 1&\not\equiv 4\pmod 5\\ x=3 &&&& 3^2+3&=12&\equiv 2&\not\equiv 4\pmod 5\\ x=4 &&&& 4^2+4&=20&\equiv 0&\not\equiv 4\pmod 5\end{aligned}$$ Deshalb ist die Lösungsmenge leer: \(L=\{\}=\emptyset\).
Zusammengefasst: Im \(\mathbb{Z}_5\) gibt es nur 4 mögliche Lösungen, nämlich \(x=1,2,3,4\). Wenn du diese Werte jeweils für x in die Gleichung einsetzt, bemerkst du, dass es keine Lösung geben kann. Die rechte Seite ist immer verschieden zur linken Seite, d.h. die Lösungsmenge ist leer bzw. entspricht der leeren Menge: \(L=\{\}=\emptyset\)
Bemerkung (siehe lul's Kommentar): Es genügt nicht zu zeigen, dass es Lösungen für die Gleichung in \(\mathbb{R}\) gibt. Damit kannst du nicht auf die Lösungen im \(\mathbb{Z}_5\) schließen, denn die Lösungsmenge kann anders sein.
Beispielsweise hat \(x+1 = 0\) die Lösungsmenge \(\mathcal{L}=\{-1\} \in \mathbb{R}\), aber dafür die Lösungsmenge \(\mathcal{L^{\star}}= \{4\} \in \mathbb{Z}_5\). Das liegt an den unterschiedlichen inversen Elementen von 1: In den reellen Zahlen gilt \(1+(-1)=0\). Im Restklassring 5 aber \(1+4\equiv 0\pmod 5\).
Offensichtlich gilt \(\mathcal{L}\neq \mathcal{L}^{\star}\).
