Endlicher Körper, Lösung in Z5

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle Lösungen der Gleichung x² + x + 1 = 0 in Z5.

Problem/Ansatz: Also ich habe ja herausgefunden, dass die Gleichung keine Lösung in den reellen Zahlen hat und weil Z5 eine Teilmenge von den reellen Zahlen ist, hat sie somit auch keine Lösung in Z5. Das war meine Idee zum Lösen dieses Problems.

Habe ich da richtig gedacht ?

Comments

Habe meine Antwort bearbeitet, da du deine Gleichung geändert hast.

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Hast du noch Fragen? Wenn nein, dann markiere diese Frage als abgeschlossen.

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Hallo

Hallo
Elemente des Körpesr Z5 ist nicht Element der reellen Zahlen! reale Zahlen 3+3= 6 in Z5 3+3=1. 3+2=6 reell 3+3=0 in Z5

aber du kannst einfach x=1 bis 3 einsetzen und sehen, dass es keine Lösung gibt

auch x²+x+3 =0 hat keine reelle Lösung, aber eine in Z5

lul

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Habe meine Antwort mit dem Kommentar von dir erweitert. Jetzt sollte alles verständlich sein.

Answer 1

Hallo Mo,

deine Vorige Aufgabenstellung lautete: $$\begin{aligned} x+3 &\equiv 0 \pmod 5 &&\lvert\;\text{Inverse von } 3 \text{ ist } 2\text{ , weil } 3+2\equiv 0 \pmod 5 \\ x &\equiv 2\pmod 5\\x&=2+5\cdot k \quad k\in \mathbb{Z}\end{aligned}$$

Zu deiner aktuellen Aufgabenstellung (Bearbeitet durch FS): Für die Gleichung gibt es keine Lösungen im Z5: $$\begin{aligned} x^2+x+1&\equiv 0\pmod 5\\x^2+x&\equiv 4\pmod 5\end{aligned}$$ Die einzigen Möglichkeiten für $x$ sind $x=1,2,3,4$. Denn alle Vielfachen $1+5k$ sind äquivalent zu 1 im $\mathbb{Z}_5$ und alle Vielfachen $2+5k$ sind äquivalent zu 2 im $\mathbb{Z}_5$ usw. für alle $k\in\mathbb{Z}$. Setzen wir ein: $$\begin{aligned}x=1 &&&& 1^2+1&=2&\equiv 2&\not\equiv 4\pmod 5\\ x=2 &&&& 2^2+2&=6&\equiv 1&\not\equiv 4\pmod 5\\ x=3 &&&& 3^2+3&=12&\equiv 2&\not\equiv 4\pmod 5\\ x=4 &&&& 4^2+4&=20&\equiv 0&\not\equiv 4\pmod 5\end{aligned}$$ Deshalb ist die Lösungsmenge leer: $L=\{\}=\emptyset$.

Zusammengefasst: Im $\mathbb{Z}_5$ gibt es nur 4 mögliche Lösungen, nämlich $x=1,2,3,4$. Wenn du diese Werte jeweils für x in die Gleichung einsetzt, bemerkst du, dass es keine Lösung geben kann. Die rechte Seite ist immer verschieden zur linken Seite, d.h. die Lösungsmenge ist leer bzw. entspricht der leeren Menge: $L=\{\}=\emptyset$

Bemerkung (siehe lul's Kommentar): Es genügt nicht zu zeigen, dass es Lösungen für die Gleichung in $\mathbb{R}$ gibt. Damit kannst du nicht auf die Lösungen im $\mathbb{Z}_5$ schließen, denn die Lösungsmenge kann anders sein.
Beispielsweise hat $x+1 = 0$ die Lösungsmenge $\mathcal{L}=\{-1\} \in \mathbb{R}$, aber dafür die Lösungsmenge $\mathcal{L^{\star}}= \{4\} \in \mathbb{Z}_5$. Das liegt an den unterschiedlichen inversen Elementen von 1: In den reellen Zahlen gilt $1+(-1)=0$. Im Restklassring 5 aber $1+4\equiv 0\pmod 5$.

Offensichtlich gilt $\mathcal{L}\neq \mathcal{L}^{\star}$.