Cosinus- und Sinusfunktion – Ableitung und Hochpunkte

Question

Aufgabe:

Sinus und Cosinusfunktion ableiten und Maxima/Minima berechnen

Problem/Ansatz:

Gegeben ist die Funktion: sin(x) - x* cos(x)

Die Ableitung daraus lautet: x* sin(x)

Wie bekomme ich nun die Hochpunkte (Schritt-für-Schritt ohne TR)?

Ich müsste ja x*sin(x)=0 setzten (im Interval von 0 bis 3 und 0 bis 4 wird gesucht).

Answer 1

Ich müsste ja x*sin(x)=0

Satz vom Nullprodukt. Lösungen sind die Lösungen der Gleichung

          x = 0

und die Lösungen der Gleichung

        sin(x) = 0.

Answer 2

Aloha :)

$$f'(x)=\left(\,\sin(x)-x\cos(x)\,\right)'=\cos (x)-\cos(x)+x\sin(x)=x\sin(x)\stackrel!=0$$

Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist:$$x=0\quad\lor\quad\sin(x)=0\quad\Rightarrow\quad x=\mathbb Z\cdot\pi$$Die Sinus-Funktion wir null, wenn ihr Argument ein Vielfaches von $\pi$ ist.

Nullstellen im Intervall $[0;3]$: $\quad x=0$

Nullstellen im Intervall $[0;4]$: $\quad x=0\quad;\quad x=\pi$

Comments

Hey! :) Lieben Dank für die Rückmeldung. Heißt das, dass ein Hochpunkt bei x=0 vorliegt? Wenn ich die Funktion jedoch zeichne, dann sind größere Werte innerhalb des Intervals sichtbar.

Bei x = 3 z.B. bekomme ich 3.11111

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Wie würde die Schritt-für-Schritt Ableitung aussehen?

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Ich habe uns die Funktion mal geplottet:

Plotlux öffnen

f₁(x) = sin(x)-x·cos(x)Zoom: x(-2…5) y(-1…4)

Die Nullstellen der ersten Ableitung sagen dir nur, an welchen Stellen die Tangente an die Kurve horizontal verläuft. Das sind lediglich Kandidaten für Extrempunkte. Du siehst an der Zeichnung sehr schön, dass bei $x=0$ die Kurve parallel zur x-Achse verläuft, aber dann dort doch kein Extremum vorliegt. Bei $x=\pi$ hingegen ist das Maximum deutlich zu sehen.

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Lieben Dank Dir! Unser Extremum im Interval von 0 bis 3 wäre doch bei x=3 dann, oder? Ebenso – wie weißt du (bzw. welche Rechenschritte hast du gemacht - ohne TR), um herauszufinden, dass bei PI das Extremum im Interval von 0 bis 4 liegt?

Liebe Grüße und einen angenehmen Abend Dir!

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Du hast hier einen Spezialfall angesprochen. Die Differentialrechnung versagt am Rand von abgeschlossenen Intervallen. Das heißt, im offenen Intervall $(0;3)$ bzw. $(0;4)$ bekommen wir alle lokalen Extrema raus. An den Grenzen $x=0;x=3$ bzw. $x=0;x=4$ versagt die Differentialrechnung, sodass du dort Extrema immer nochmal überprüfen musst.

Daher hast du Recht, dass im Intervall $[0;3]$ ein Minimum bei $x=0$ und ein Maximum bei $x=3$ vorliegt. Im Intervall $[0;4]$ liegt ein Minimum bei $x=0$ (manuelle Prüfung) und bei $x=\pi$ (Differentialrechnung). Bei $x=4$ (manuelle Prüfung) liegt kein Extremum vor.

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Vielen lieben Dank! Da Du mir das so hervorragend übermittelt hast, werde ich es nicht mehr vergessen!

Liebe Grüße und Dir noch einen angenehmen Abend!

Answer 3

EErinner dich, Sinus ist ungerade, und Cosinus gerade