Beweis,das für n∈N die Ungleichung gilt

Question

\(Aufgabe\)
Für \( n \in \mathbb{N} \) gilt
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq 2-\frac{1}{n} \)

\(Meine Lösung:\)

Zu zeigen \( \forall n \in \mathbb{N}:(A(n)) \)
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq 2-\frac{1}{n} \)
Beweis per Indukhion:
Induktionsanfang A(1)):
\(\sum \limits_{k=1}^{1} \frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{1^{2}}=1 \leq 2-\frac{1}{1}\Rightarrow\) erfüllt

Induktionsschritt A(n) \(\Rightarrow\) A(n+1):
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^{2}}=\frac{1}{(n+1)^{2}}+\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}\leq \frac{1}{(n+1)^{2}}+2-\frac{1}{n} \)

Ich komme hier beim Induktionsschritt nicht weiter und könnte mir jemand für den letzten Schritt die Lösung geben, dass es auch für n+1 gilt? Habe es mit abschätzen probiert usw. aber ich komme nicht drauf.

:)

Answer 1

Hallo,

oft hilft es, mal von dem auszugehen, was man zeigen will, nämlich:

$$\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{n} \leq \frac{1}{n+1}$$

Jetzt umstellen:

$$\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{n+1}\leq \frac{1}{n}$$

Hauptnenner links:

$$\frac{n+2}{(n+1)^2} \leq \frac{1}{n}$$

Multiplikation mit n

$$\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1} \leq 1$$

Die letzte Aussage ist offenbar für alle natürlichen Zahlen wahr. Ein kleines Problem bleibt: Ich bin von dem ausgegangen, was zu zeigen ist, und durch Umformungen bei einer wahren Aussage gelandet. Der Beweis muss natürlich umgekehrt verlaufen. Also ist alles von hinten nach vorne aufzuschreiben. Allerdings sind hier alle Umformungen Äquivalenzumformungen: Man kann alles so stehen lassen und muss nur in jedem Zwischenschritt ein \(\iff\) einfügen.

Gruß

PS In der ersten ungleichung fehlt rechts ein Minus