Was ist die erste Ableitung der folgende Funktion in Bezug zu x:

Question

Aufgabe:

Was ist die erste Ableitung der folgende Funktion in Bezug zu x:

$f_m(x) = \left(\sum \limits_{n=1}^{\text{m}} n^{x} * x^{n}\right)^2$

Problem/Ansatz:

Comments

$\LaTeX$ kannst du hier einbinden indem du es in \( und \) einschließt.

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Vielen Dank für die Info @oswald :)

Answer 1

$f_m'(x) = 2\left(\sum \limits_{n=1}^{\text{m}} n^{x} \cdot x^{n}\right)\cdot \sum \limits_{n=1}^{\text{m}} \left(\ln(n) n^{x} x^{n}+n^x nx^{n-1}\right)$

Comments

Hallo @oswald,

darf ich fragen, wie du auf diese Ableitung gekommen bist? Kannst du mir vielleicht es Schrit für Schrit erklären bitte?

Danke

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$f_m(x) = \left(\sum \limits_{n=1}^{\text{m}} n^{x} * x^{n}\right)^2$ ist eine Verkettung

        $f(x) = g(h(x))$

mit

        $g(h) = h^2$ also $g'(h) = 2h$

und

        $h(x) = \sum \limits_{n=1}^{\text{m}} n^{x} * x^{n}$.

Laut Kettenregel ist

        $f'(x) = g'(h(x))\cdot h'(x)$

und somit

        $f'(x) = 2\left(\sum \limits_{n=1}^{\text{m}} n^{x} * x^{n}\right)\cdot h'(x)$.

Die Ableitung von $h(x)$ muss noch bestimmt werden.

$h(x) = \sum \limits_{n=1}^{\text{m}} n^{x} * x^{n}$ ist eine Summe

        $h(x) = h_1(x) + h_2(x) + \dots + h_m(x)$

mit

        $h_n(x) = n^x\cdot x^n$ für jedes $n = 1, \dots, m$.

Laut Summenregel ist

        $h'(x) = h'_1(x) + h'_2(x) + \dots + h'_m(x)$.

Die Ableitungen der $h_n(x)$ müssen noch bestimmt werden.

$h_n(x) = n^x\cdot x^n$ ist ein Produkt

        $h_n(x) = u_n(x)\cdot v_n(x)$

mit

         $u_n(x) = n^x$ also $u'_n(x) = \ln(n)\cdot n^x$

und

        $v_n(x) = x^n$ also $v'_n(x) = nx^{n-1}$.

Laut Produktregel ist

        $h'_n(x) = u'_n(x)\cdot v_n(x) + u_n(x)\cdot v'_n(x)$

also

        $h'_n(x) = \ln(n) n^{x} x^{n}+n^x nx^{n-1}$

und somit

        $h'(x) = \sum \limits_{n=1}^{\text{m}}\left(\ln(n) n^{x} x^{n}+n^x nx^{n-1}\right)$.

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Vielen Dank @oswald...