Wie zeige ich, dass die Abstände der Folgenglieder hier immer kleiner werden?

Question

Hallo,

Ich möchte zeigen, dass die Abstände der Folgenglieder der Folge a_n(n∈N) = \( \sqrt{n*π} \) immer kleiner werden.

Also: \( \sqrt{(n+2)*π} \) - \( \sqrt{(n+1)*π} \) < \( \sqrt{(n+1)*π} \) - \( \sqrt{n*π} \)

Ich habe schon versucht es mit vollständiger Induktion zu zeigen, komme aber beim Schritt nicht auf die Behauptung zurück.

1. Induktionsbasis

\( \sqrt{(3*π} \) - \( \sqrt{2*π} \) < \( \sqrt{(2*π} \) - \( \sqrt{π} \)

2. Induktionsvoraussetzung (Für alle n ≥ 1)

\( \sqrt{(n+2)*π} \) - \( \sqrt{(n+1)*π} \) < \( \sqrt{(n+1)*π} \) - \( \sqrt{n*π} \)

3. Induktionsbehauptung

\( \sqrt{(n+3)*π} \) - \( \sqrt{(n+2)*π} \) < \( \sqrt{(n+2)*π} \) - \( \sqrt{(n+1)*π} \)

4. Induktionsschritt

?

Hier komme ich nicht weiter, bzw. mit Umformungen auf keinen grünen Zweig. Wie kann ich hier den Induktionsschritt machen? Die Wurzeln irritieren mich.
Falls mir jemand weiterhelfen kann oder einen besseren Ansatz hat wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

a(n + 1) - an

= √(n + 1 + c) - √(n + c)

= (√(n + 1 + c) - √(n + c))·(√(n + 1 + c) + √(n + c)) / (√(n + 1 + c) + √(n + c))

= 1 / (√(n + 1 + c) + √(n + c))

Man sieht das der Nenner bei gleich bleibendem Zahler immer größer wird. Damit nehmen die Abstände ab.