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Aufgabe:

f(x) = | x-2 |


Problem/Ansatz:

Was bedeuten die Betragsstriche bei dieser Funktion?

blob.png

Wie kann ich da eine Wertetabelle erstellen?

Also ich habe mir die beiden Graphen jetzt mal angesehen.

Dann haben wir ja: y=x-2 und y=-x+2

Aber warum ist dann unter der X Achse nichts mehr?

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\(f(x)=\lvert x \rvert \) bedeutet $$f(x)=\begin{cases}-x, &\text{falls } x<0 \quad \text{(negativ)}\\ \phantom{-}x, &\text{falls } x>0 \quad \text{(positiv)} \end{cases}$$ In Worten: Wenn der Wert x negativ ist, machen wir ihn positiv (d.h.: \(-(-x)=+x\)). Wenn er aber positiv ist, ändern wir nichts. Wir machen also nur etwas negativ, wenn es schon negativ war und dadurch wird es wieder positiv. Deshalb kann es keine negativen Werte bei einer Betragsfunktion geben.

In unserem Falle ist die Funktion also definiert als $$f(x)=\begin{cases}-x+2, & \text{falls }x<2\\ \phantom{-}x-2, & \text{falls } x>2\end{cases}$$ In Worten: Immer wenn x-2 negativ ist, machen wir den ganzen Ausdruck negativ: $$\displaystyle -(x-2)=-x+2.$$ Du benutzt also den oberen Term. Für den Fall, dass x-2 positiv ist, verändern wir nichts. Die Funktion hat also eine Fallunterscheidung und besteht aus zwei Teilfunktionen, die nennt man auch stückweise definierte Funktion.

Hier nochmal die Gleichheit der beiden Funktionen grafisch dargestellt (rauszoomen mit Mausrad):

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Der Betrag einer Zahl ist nie negativ.

|+3|=3

|-5|=5

|0|=0

Wenn also das Ergebnis von x-2 negativ ist, lässt man das Minus weg.

Z.B.

1-2=-1

|1-2|=|-1|=1


:-)

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y=x-2 und y=-x+2 Aber diese Funktionen Stimmen doch oder? Wie kommt der Graph sonnst zustande?

Die Funktionen stimmen. Du musst nur verstehen, dass für negative Zahlen z.B. -3 folgendes gilt:

|-3|=-(-3)=+3

Deshalb gilt für x<2:

|x-2|=-(x-2)=-x+2

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Betrag ist eine Funktion

term > 0 : | term | = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

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