Man werfe mit 4 Würfeln. Jeder dieser Würfel hat j-viele Seiten, ...

Question

Aufgabe:

Man werfe mit 4 Würfeln. Jeder dieser Würfel hat j-viele Seiten, wobei die Augenzahlen 1, 2, ... , j gleichwahrscheinlich sind. Sei die Menge A = {1, ..., i} und B = {1, .., j} gegeben wobei i/j den Anteil der Menge A an der Menge B darstellt. Es gilt weiterhin i <= j.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dass genau zwei der geworfenen Augenzahlen ≤ i ausfallen.

Problem/Ansatz:

Ich bin bereits folgendermaßen vorgegangen, bin mir allerdings etwas unsicher:

Ich weiß das jeder Würfel j-viele Seiten hat. Nun habe ich 4 Würfel, was heißt dass es ja j*j*j*j = j⁴ viele mögliche Ausgänge geben müsste. Für den ersten Würfel gibt es ja nun maximal i viele Möglichkeiten eine Augenzahl ≤ i zu würfeln. Ebenso für die restlichen drei. Müsste nun nicht gelten P("genau zwei der geworfenen Augenzahlen ≤ i") = i⁴/ j⁴ ?

Bin etwas verwirrt durch die Variablen i und j und dass die Würfel ja anscheinend gleichzeitig gewürfelt werden.

Würde mich über Anregungen und Hilfe freuen.

Answer 1

(4 über 2)·(i/j)^2·(1 - i/j)^2

= 6·i^2·(j - i)^2/j^4