Doppelsummen mit unbekannten Obergrenzen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie ( d.h. das Ergebnis soll kein Summenzeichen mehr enthalten.)

a) \( \sum \limits_{\nu=0}^{n} \sum \limits_{k=0}^{\nu}\left(\begin{array}{l}\nu \\ k\end{array}\right) 3^{\nu} \)

Problem/Ansatz: Ich steh leider total auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich diese Doppelsumme berechnen soll, da die Obergrenzen unbekannte sind und ich ja dadurch nicht weiß wie viele "Schritte" ich machen muss. Und nur zwei zu machen den ersten zb. k=0 und einen zweiten (eig der letzte) k=v scheint mir falsch.

Comments

Benutze doch einfach eine Notation die deutlich macht, dass noch beliebig viele weitere Glieder folgen können.

Zum Beispiel ist $$\sum\limits_{i=0}^{n} i = 0+1+2+\dots + n.$$ OK?

Answer 1

\( \sum \limits_{\nu=0}^{n} \sum \limits_{k=0}^{\nu}\left(\begin{array}{l}\nu \\ k\end{array}\right) 3^{\nu} \)

\( = \sum \limits_{\nu=0}^{n} 3^{\nu} \sum \limits_{k=0}^{\nu}\left(\begin{array}{l}\nu \\ k\end{array}\right)  \)

\( = \sum \limits_{\nu=0}^{n} 3^{\nu} * 2^{\nu}  \)

\( = \sum \limits_{\nu=0}^{n} 6^{\nu}   \)

\( = \frac {6^{n+1}-1}{5}  \)

Comments

Bin mir gerade nur nicht bewusst, wie man auf die \( 2^{v} \) kommt

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Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/267186/vollstandige-induktion-summe-n-uber-k-2-n