Zeigen Sie mittels eines Beweises durch Widerspruch, dass q + 1/q ≥ 2 für alle reellen Zahlen q > 0 gilt.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie mittels eines Beweises durch Widerspruch, dass q + 1/q ≥ 2 für alle reellen Zahlen q > 0 gilt.

Problem/Ansatz:

• Beweis durch Kontraposition (Indirekter Beweis)

• Beruht auf der Tautologie (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)

Was sind hier A und B, wie soll ich anfangen?

Comments

Kontraposition (Indirekter Beweis)

???

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ach mein Fehler, sorry.

Widerspruchsbeweis
• Wir wollen Aussage A beweisen
• Wir nehmen an, A ist nicht wahr
• folgern Widerspruch
• also ist A wahr.
• Beruht auf Tautologie: ¬(A ∧ ¬A)

ok A ist q + 1/q ≥ 2 für alle reellen Zahlen q > 0 dann ist ¬A = ´q + 1/q < 2 für alle reellen Zahlen q > 0 gilt.´ ?

Answer 1

Aloha :)

Behauptung: \(\quad q+\frac{1}{q}\ge2\quad;\quad q>0\)

Beim Beweis durch Widerspruch nehmen wir an, dass das Gegenteil gilt und führen dies zu einem Widerspruch.$$\left.q+\frac{1}{q}<2\quad\right|\quad\cdot q$$$$\left.q^2+1<2q\quad\right|\quad-2q$$$$\left.q^2-2q+1<0\quad\right|\quad\text{2-te binomische Formel}$$$$\left.(q-1)^2<0\quad\right|\quad\text{Widerspruch!}$$Da eine Quadratzahl immer \(\ge0\) ist, haben wir die angenommene Behauptung zu einem Widerspruch geführt. Also muss das Gegenteil richtig sein:$$q+\frac{1}{q}\ge2\quad;\quad q>0$$

Answer 2

Angenommen \( q + \frac{1}{q} < 2  \) dann gilt auch (einfach nachrechnen) \( (q-1)^2 < 0 \) Widerspruch