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Aufgabe:

Zeigen Sie mittels eines Beweises durch Widerspruch, dass q + 1/q ≥ 2 für alle reellen Zahlen q > 0 gilt.


Problem/Ansatz:

• Beweis durch Kontraposition (Indirekter Beweis)

• Beruht auf der Tautologie (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)


Was sind hier A und B, wie soll ich anfangen?

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Kontraposition (Indirekter Beweis)

???

ach mein Fehler, sorry.

Widerspruchsbeweis
• Wir wollen Aussage A beweisen
• Wir nehmen an, A ist nicht wahr
• folgern Widerspruch
• also ist A wahr.
• Beruht auf Tautologie: ¬(A ∧ ¬A)

ok A ist q + 1/q ≥ 2 für alle reellen Zahlen q > 0 dann ist ¬A = ´q + 1/q < 2 für alle reellen Zahlen q > 0 gilt.´ ?

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Behauptung: q+1q2;q>0\quad q+\frac{1}{q}\ge2\quad;\quad q>0

Beim Beweis durch Widerspruch nehmen wir an, dass das Gegenteil gilt und führen dies zu einem Widerspruch.q+1q<2q\left.q+\frac{1}{q}<2\quad\right|\quad\cdot qq2+1<2q2q\left.q^2+1<2q\quad\right|\quad-2qq22q+1<02-te binomische Formel\left.q^2-2q+1<0\quad\right|\quad\text{2-te binomische Formel}(q1)2<0Widerspruch!\left.(q-1)^2<0\quad\right|\quad\text{Widerspruch!}Da eine Quadratzahl immer 0\ge0 ist, haben wir die angenommene Behauptung zu einem Widerspruch geführt. Also muss das Gegenteil richtig sein:q+1q2;q>0q+\frac{1}{q}\ge2\quad;\quad q>0

Avatar von 153 k 🚀
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Angenommen q+1q<2 q + \frac{1}{q} < 2 dann gilt auch (einfach nachrechnen) (q1)2<0 (q-1)^2 < 0 Widerspruch

Avatar von 39 k

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