Ableitung mithilfe der Quotientenregel berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Ableitung.

a) $f(x)=\frac{x}{x+1}$
b) $g(x)=\frac{2 x}{1+3 x}$
$f(z)=\frac{1-z^{2}}{z+2}$
d) $f(t)=\frac{t^{2}+t+1}{t^{2}-1}$
e) $g(x)=\frac{6 x}{15-x^{2}}$
f) $h(z)=\frac{4 z^{2}-5}{2 z+1}$

Meine Rechnung zu a) und b) :

$\frac{1 \cdot(x+1)+x \cdot 1}{\left((x+1)^{2}\right)}=\frac{x+1+x}{(x+1)^{2}}=\frac{2 x+1}{(x+1)^{2}}$

$\frac{2 \cdot(1+3 x)+2 x \cdot(3)}{(1+3 x)^{2}}=\frac{2+6 x+6 x}{1+3 x^{2}} \frac{2+12 x}{1+3 x^{2}}$

Meine Rechnung scheint falsch zu sein und ich verstehe nicht wo mein Fehler liegt!?

Answer 1

Quotientenregel:

        $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\implies f'(x)=\frac{g'(x)h(x) {\color{red}-} h'(x)g(x)}{h(x)^2}$

Da gehört ein Minuszeichen in den Zähler. Das kommt von der Umformung

        $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} = g(x)\cdot h(x)^{-1}$

und der Ableitung von $h(x)^{-1}$ mittels Kettenregel.