Nach rechts unbegrenzte Fläche

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit f(x) = $\frac{1}{x^3}$

Der Graph der Funktion $f$ schließt mit der x-Achse für $x$ $≥$ 1 eine nach rechts unbegrenzte Fläche ein. Untersuchen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Inhalt hat.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits das Integral von 1 bis o ("Obergrenze") (die ja nicht definiert / gegeben ist) gebildet und die Stammfunktion $[-\frac{1}{2x^2}]$ .

Dann habe ich das o in die Stammfunktion eingesetzt...

$-\frac{1}{2o^2}$

Und habe limes angewendet...

$\lim\limits_{o\to\infty}(-\frac{1}{2o^2})$

Ich hoffe, dass soweit alles richtig ist. Jetzt sollte man eine endliche Zahl oder unendliche Zahl bestimmen können, um zu bestimmen, ob die Fläche endlich oder unendlich ist. Komme hier gerade nicht weiter. Gruß und

Answer 1

Der Graph der Funktion f schließt mit der x-Achse für x≥ 1 eine nach rechts unbegrenzte Fläche ein. Das Einsetzen der Grenzen 1 und o in die Stammfunktion ergibt dann $\frac{1}{2}$ -$\frac{1}{2o^2}$. Der LImes für o→∞ ist dann $\frac{1}{2}$.

Comments

Wie kommst du denn beim Einsetzen in der Stammfunktion auf +1/2 ? Müsste es nicht -1/2 sein?

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Nach Einsetzen der unteren Grenze wir subtrahiert.

Answer 2

$$f(x) = \frac{1}{x^3} =x^{-3}$$

$$F(x) =- \frac{1}{2}x^{-2}$$

$$A=-\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{2}x^{-2} -(- \frac{1}{2})=-0+ \frac{1}{2}= \frac{1}{2}$$