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Für n2n\geq 2seiz=cos(2π/n)+i(sin2π/n)z=cos(2\pi/n) + i(sin2\pi/n)

Zeige, dass 1+z+...+z(n1)=01+z+...+z^(n-1) =0

Ich habe bisher nur i=0n1zi=zn1z1\sum \limits_{i=0}^{n-1}z^i = \frac{z^n-1}{z-1}

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Ist i die imaginäre Einheit oder nur der Laufindex oder beides?

Ohh.... Stimmt das ist etwas ungünstig gewählt. Ich meinte bei der Summe natürlich nur den Laufindex. Bei der Voraussetzung ist i die imaginäre Einheit.

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z=cos(2π/n)+i(sin2π/n)z=cos(2\pi/n) + i(sin2\pi/n)

zn=cos(2π)+i(sin2π)=1z^n=cos(2\pi) + i(sin2\pi)=1

Damit

i=0n1zi=zn1z1=0\sum \limits_{i=0}^{n-1}z^i = \frac{z^n-1}{z-1}=0

Avatar von 11 k

Der Fall n=1 muss separat betrachtet werden.

Es ist n>=2 gemäß Voraussetzung.

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